§ 3. Несобственные интегралы

3.1. Несобственный интеграл I рода

Определение. Сходящимся несобственным интегралом первого рода от непрерывной функции на бесконечном интервале называется предел интеграла при , если этот предел существует.

Записывают это так:

.

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если этот предел не существует, то равенство теряет смысл и не­собственный интеграл, стоящий слева, называется расходящимся.

Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода

Теорема 3.1.   Признак сравнения. Пусть для всех значений выполняется неравенство . Тогда:

1) если сходится интеграл , то сходится и интеграл , причем ;

2) если расходится интеграл , то расходится и интеграл .

Замечание. Несобственный интеграл , сходится при и расходится при .

Несобственный интеграл с бесконечными верхним и нижним пределами интегрирования функции , , определяется следующим образом:

,

где  некоторое число.

Если для функции , , при некотором существуют интегралы и , то

.

Если хотя бы один из интегралов в правой части этого равенства не существует, то является расходящимся.

Теорема 3.2. Предельный признак сравнения. Если при , и существует конечный предел , то интегралы

и

сходятся или расходятся одновременно.

Теорема 3.3. Если сходится интеграл (интеграл от абсолютной величины функции ), то сходится и интеграл .

При этом интеграл называется абсолютно сходящимся.

Специальный признак сравнения

Если функция монотонно стремится к нулю при , функция имеет ограниченную первообразную

,

то интеграл сходится, вообще говоря, не абсолютно.

В частности, интегралы и сходятся, если .

Главное значение (в смысле Коши)

Если функция такова, что при любом существуют собственные интегралы

и ,

то под главным значением в смысле Коши (v. p.) понимается число

v. p. .

Пример 3.1. Вычислить несобственный интеграл с бесконечными пределами (или установить его расходимость).

Решение. Преобразуем интеграл:

Пример 3.2. Вычислить несобственный интеграл с бесконечными пределами (или установить его расходимость).

Решение. Преобразуем интеграл:

Пример 3.3. Вычислить несобственный интеграл с бесконечными пределами (или установить его расходимость).

Решение. Преобразуем интеграл:

Пример 3.4.  Исследовать на сходимость интеграл с бесконечными пределами.

Решение. При аргумент у функции стремится к нулю. По предельному признаку сравнения имеем

.

Следовательно, функция  ведет себя так же как . Можно исследовать на сходимость интеграл

.

Для последнего интеграла найдем эквивалентный интеграл. Так как

,

то будем исследовать на сходимость .

По интегральному признаку получим

.

Значит, сходится.

Вычислить несобственные интегралы с бесконечными пределами (или установить их расходимость):

3.1. .	3.2. .
3.3. .	3.4. .
3.5. .	3.6. .
3.7. .	3.8. .
3.9. .	3.10. .
3.11. .	3.12. .
3.13. .	3.14. .
3.15. .	3.16. .
3.17. .	3.18. .
3.19. .	3.20. .

Вычислить интегралы:

3.21. .	3.22. .
3.23. .	3.24. .
3.25. .	3.26. .
3.27. .	3.28. .
3.29. .	3.30. .
3.31. .	3.32. .

Исследовать сходимость интегралов:

3.33. .	3.34. .
3.35. .	3.36. .
3.37. .	3.38. .
3.39. .	3.40. .
3.41. .	3.42. .
3.43. .	3.44. .
3.45. .	3.46. .
3.47. .	3.48. .
3.49. .

Найти интегралы в смысле главного значения:

3.50. v. p. .	3.51. v.p. .
3.52. v. p. .

Ответы: 3.1. . 3.2. . 3.3. . 3.4. . 3.5. Расходится. 3.6. . 3.7. Расходится. 3.8. Расходится. 3.9. . 3.10. Расходится. 3.11. Расходится. 3.12. . 3.13. Расходится. 3.14. . 3.15. . 3.16. . 3.17. Расходится. 3.18.  . 3.19. Расходится. 3.20. . 3.21. . 3.22. . 3.23. . 3.24. . 3.25.  . 3.26. . 3.27. . 3.28. . 3.29. . 3.30. . 3.31. . 3.32. . 3.33. Сходится. 3.34. Сходится. 3.35. Расходится. 3.36. Сходится. 3.37. Сходится. 3.38. Сходится. 3.39. Расходится. 3.40. Расходится. 3.41. Сходится. 3.42. Сходится. 3.43. Расходится. 3.44. Сходится. 3.45. Сходится. 3.46. Расходится. 3.47. Сходится. 3.48. Расходится. 3.49. Расходится. 3.50.  . 3.51. . 3.52. .