2.5. Вычисление площадей поверхностей вращения

Площадь поверхности, образованной вращением гладкой кривой вокруг оси , равна

. (2.17)

Площадь поверхности, образованной вращением гладкой кривой вокруг оси , равна

. (2.18)

Пусть кривая задана параметрически уравнениями , , , где ,  непрерывно дифференцируемые на функции.

Площадь поверхности, образованной вращением данной кривой вокруг оси  , равна

. (2.19)

Площадь поверхности, образованной вращением данной кривой вокруг оси , равна

. (2.20)

Пусть спрямляемая кривая, длина которой , расположена по одну сторону от прямой ,  расстояние от конца дуги кривой длины до прямой , и пусть  непрерывная функция .

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг прямой , равна

. (2.21)

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг полярного луча кривой , , равна

, (2.22)

где  непрерывно дифференцируемая на функция.

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг луча кривой , , равна

, (2.23)

где  непрерывно дифференцируемая на функция.

Рис. 18

Пример 2.17. Найти площадь поверхности, образованной вращением параболы , заключенной между точками с абсциссами и (рис. 18). Решение. По формуле (2.17)

находим площадь поверхности вращения:

Найти площади поверхностей, образованных вращением вокруг оси  следующих кривых:

2.151. , .	2.152. , .
2.153. , , .
2.154. , .

Найти площади поверхностей, образованных вращением вокруг оси  следующих кривых:

2.155. , .	2.156. , .
2.157. , .	2.158. , .
2.159. , .
2.160. , .

Найти площадь поверхности, образованной при вращении вокруг оси  кривой, заданной параметрически:

2.161. , , .

2.162. , ,

2.163. , , .

2.164. , , .

2.165. , , .

2.166. , .

Найти площадь поверхности, образованной при вращении вокруг полярной оси кривой:

2.167. .

2.168. .

Ответы:   2.151.  . 2.152.  . 2.153.  .

2.154.  . 2.155.  . 2.156.  .

2.157.  .  2.158.  .

2.159.  . 2.160.  . 2.161.  .

2.162.  . 2.163.  . 2.164.  . 2.165.  . 2.166.   . 2.167. . 2.168.  .