2.2. Площадь фигуры. Полярная система координат

Пусть в полярной системе координат задана функция , где  – полярный радиус, – полярный угол. Пусть, далее, функция непрерывна при изменении угла в пределах ( и – в радианах). Фигура, ограниченная линией , с которой любой луч, исходящий из полюса , пересекается не более чем в одной точке, и двумя лучами и , называется криволинейным сектором (рис. 7).

Рис. 7

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя полярными радиусами и ( ), находится по формуле

. (2.6)

Пример 2.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали Архимеда и отрезком полярной оси (рис. 8).

Решение. По формуле (2.6) имеем

.

Рис. 8

Рис. 9

Пример 2.6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией (трилистник, рис. 9).

Решение. Найдем область определения угла из условия, что . Имеем: , т. е.

.

Соответственно величина угла меняется в следующих пределах:

в зависимости от значения . Найдем границы изменения величины угла :

при :	;
при :	;
при :	,

где – область определения -го лепестка.

Достаточно вычислить площадь одного лепестка или его половины. Определим площадь шестой части всей фигуры (половины одного лепестка); величина угла при этом изменяется от до .

Площадь половины лепестка выражается интегралом

.

Следовательно, площадь трилистника , найдем её величину:

т. е. площадь трилистника равна площади круга, диаметр которого равен  .

Пример 2.7. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными уравнениями и (рис. 10).

Решение. Найдем область определения угла из условия, что и , учитывая область пересечения кривых.

Рис. 10

При этом , , т. е. величина угла может изменяться от до . Найдем значение угла в точках пересечения кривых, когда : , или . Следовательно, .

Таким образом, вся фигура разбивается на две непересекающиеся части: ограниченную кривой при (площадь ) и ограниченную кривой при (площадь ). Поэтому имеем:

Пример 2.8. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой (рис. 11).

Рис. 11

Решение. Фигура, ограниченная лемнискатой, симметрична относительно горизонтальной и вертикальной прямых, проходящих через полюс; поэтому достаточно вычислить площадь четверти фигуры. Этой площади соответствует центральный угол . По формуле (2.6) получим

.

Найти площади фигур, ограниченных кривыми, заданными в полярных координатах:

2.25. (кардиоида).	2.26. .
2.27. .	2.28. .
2.29. .	2.30. , .
2.31. .	2.32. (лемниската).
2.33. .	2.34. , .
2.35. , , .	2.36. , , .

2.37. , (вне кардиоиды).

2.38. , , .

2.39. , , .

2.40. , , .

2.41. , , , (эллипс).

2.42. , , , , (гипербола).

2.43. , , (парабола).

2.44. , , .

Найти площадь фигуры, ограниченной:

2.45. кривой .

2.46. лепестком кривой , .

2.47. линиями , .

2.48. линиями , .

2.49. замкнутой кривой , .

Перейдя к полярным координатам, найти площади фигур, ограниченных кривыми:

2.50. (лист Декарта).

2.51. .

2.52. (лемниската).

Ответы:   2.25.  . 2.26.  . 2.27.  . 2.28.  . 2.29.  . 2.30.  . 2.31.  . 2.32.  . 2.33.  . 2.34.  . 2.35.  . 2.36.  . 2.37.  . 2.38.  . 2.39.  . 2.40.  .

2.41.  . 2.42.   . 2.43.  . 2.44.  . 2.45.  . 2.46.  . 2.47.  .

2.48.  . 2.49. . 2.50. . 2.51. . 2.52. .