1.2. Вычисление определенных интегралов методом интегрирования по частям

Правило интегрирования по частям:

, (1.1)

где и – функции независимой переменной , имеющие непрерывные производные на .

Пример 1.1. Найти .

Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим , откуда , . Тогда

.

Пример 1.2. Найти .

Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим , , откуда , . Отсюда находим, что

Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:

1.25. .	1.26. .
1.27. .	1.28. .
1.29. .	1.30. .
1.31. .	1.32. .
1.33. .	1.34. .
1.35. .	1.36. .
1.37. .	1.38. .
1.39. .	1.40. .
1.41. .	1.42. .
1.43. .	1.44. .

Ответы: 1.25. . 1.26. . 1.27. . 1.28. . 1.29. . 1.30.  . 1.31.  . 1.32. . 1.33. . 1.34. . 1.35.  . 1.36.  . 1.37.  . 1.38.  . 1.39.  . 1.40. . 1.41.  . 1.42. . 1.43. . 1.44. .

1.3. Вычисление определенных интегралов с помощью замены переменной

Правило замены переменной (подстановки) в определенном ин­теграле таково. Если , то

. (1.2)

Теорема 1.8. Пусть функция непрерывна в замкнутом ин­тервале , а функции и непрерывны в замкнутом интервале , причем в этом интервале функция монотон­на и , . Тогда

. (1.3)

Пример 1.3. Вычислить интеграл .

Решение. Положим , тогда . Если , то ; если , то . Поэтому по формуле (1.3) получим, что

Пример 1.4. Вычислить интеграл .

Решение. Положим , тогда . Если , то ; если , то . Поэтому

Вычислить интегралы при помощи подходящей замены переменной:

1.45. .	1.46. .
1.47. .	1.48. .
1.49. .	1.50. .
1.51. .	1.52. .
1.53. .	1.54. .
1.55. .	1.56. .
1.57. .	1.58. .
1.59. .	1.60. .
1.61. .	1.62. .

Ответы: 1.45. . 1.46. . 1.47. . 1.48. . 1.49.  . 1.50.  . 1.51. . 1.52. . 1.53. . 1.54. . 1.55. . 1.56. . 1.57. . 1.58. . 1.59. . 1.60.  . 1.61.  . 1.62. .