I. Интегральное исчисление функций одной переменной

§ 1. Определенный интеграл

Определенный интеграл - одно из основных понятий математического анализа. Он используется для вычисления различных величин в математике, механике и физике.

Вычисление площадей фигур, длин дуг, объёмов тел, пройденного пути, работы, массы, моментов инерции и других характеристик математических объектов и физических процессов сводится к вычислению определенного интеграла.

В свою очередь вычисление определенного интеграла тесно связано с нахождением соответствующего неопределенного интеграла.

Пусть функция определена на отрезке , .

Теорема 1.1. Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.

1.1. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных

Теорема 1.2. Формула Ньютона – Лейбница. Если функция непрерывна на отрезке и – какая-либо её первообразная, т. е. , то имеет место формула

.

Теорема 1.3. О вынесении постоянного множителя. Если – некоторое число и функция интегрируема на , то

,

т. е. постоянный множитель подынтегральной функции можно вынести за знак определенного интеграла

Теорема 1.4. Об интеграле суммы. Интеграл от суммы конеч­ного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций:

,

где – функции независимой переменной .

Теорема 1.5. О перестановке пределов. Если верхний и нижний пределы интеграла поменять местами, то интеграл изменит только знак:

.

Теорема 1.6. О знаке интеграла. Если подынтегральная функ­ция в интервале интегрирования не меняет знака, то интеграл представляет собой число того же знака, что и функция.

Теорема 1.7. О разбиении интервала интегрирования. Пусть функция интегрируема на отрезке . Если этот отрезок разделён точкой на части и , то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям, т. е.

.

Найти интегралы, используя таблицу неопределенных интегралов и правила подведения под знак дифференциала:

1.1. .	1.2. .
1.3. .	1.4. .
1.5. .	1.6. .
1.7. .	1.8. .
1.9. .	1.10. .
1.11. .	1.12. .
1.13. .	1.14. .
1.15. .	1.16. .
1.17. .	1.18. .
1.19. .	1.20. .
1.21. .	1.22. .
1.23. .	1.24. .

Ответы: 1.1. . 1.2. . 1.3. . 1.4. . 1.5.  . 1.6.  . 1.7. . 1.8. . 1.9. . 1.10. . 1.11. . 1.12.  . 1.13.  . 1.14. . 1.15. . 1.16. . 1.17. . 1.18. . 1.19.  . 1.20. . 1.21. . 1.22. . 1.23. . 1.24. .