2.2.2 Построение графика переходного процесса

Построение графика переходного процесса в системе по средствам программной среды MathCAD. Для этого требуется решить систему (2.17). Для решения преобразуем структуру системы к виду, показанному на рис.12 [1].

Рис.12. Преобразованная структура системы

Новой структуре соответствует система уравнений [1]:

(2.18)

Первое уравнение является дифференциальным, второе – алгебраическим, так как содержит производные, находимые из первого уравнения.

Для построения графика переходного процесса необходимо решить дифференциальное уравнение:

(2.19)

При численном решении дифференциального уравнения n-го порядка преобразуем в систему изnуравнений первого порядка. Для этого выполняем подстановку вида [2]:

z(t)=z₁(t),z^’(t)=z₂(t). (2.20)

В результате подстановки можно записать систему уравнений следующего вида:

(2.21)

Решив систему уравнений (2.21) определим:

y(t) = 8,4z₁(t) (2.22)

Для решение системы в MathCADнеобходимо указать следующие параметры:

Исходное уравнение:

(2.23)

Длительность переходного процесса для системы удовлетворительного качества лежит в пределах [1]:

< t_пп <

По графику на чертеже КР-2068.998-26-10-00.00.000.Д1 определяем частоту среза: ω_с=10.

0,314< t_пп < 1,256

Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта:

(2.24)

где: -начальные условия.

n – 2000 число точек решения; tk = 200 конечное время решения; D – исходное уравнение.

-конечный результат для вычисления переходного процесса.

Представим найденные значение в таблице 3.

Таблица 3.Расчет точек переходного процесса

Расчет точек для графика переходного процесса представим в таблице 4.

Таблица 4. Расчет точек для графика переходного процесса

Рис. 13. График переходного процесса системы

По рисунку 13 определим время переходного процесса системы tпп = 0.29c.

2.2.3 Оценка качества исследуемой системы

По графику переходного процесса и по логарифмической характеристики системы производим оценку качества исследуемой системы, приведенной к устойчивости. Для оценки пользуемся следующими показателями:

1. Вид переходного процесса

2. Длительность переходного процесса

3. Величина перерегулирования

4. Запас устойчивости системы по фазе

5. Запас устойчивости системы по амплитуде

Согласно графику переходного процесса (рис.13) переходный процесс имеет колебательный периодический характер.

Длительность переходного процесса определим как время, прошедшие от начала переходного процесса (t=0) до момента установления величины выходного сигнала, отличающейся не более чем на 5% от установившегося значения. По графику переходного процесса определяем его длительность: t_пп = 0,29 с.

Это значение меньше оценочного времени переходного процесса.

Величина перерегулирования определяется из соотношения (в процентах):

σ = · 100% = · 100% = 1 %, (2.25)

где: , - наибольшее и установившееся значения выходного параметра, определяемые по графику переходного процесса (рис.6).

Запасы устойчивости системы, определяемые по логарифмическим характеристикам, характеризуют степень устойчивости системы.

Запас устойчивости системы по фазе определяется через фазовый угол системы на частоте среза ω_с:

(2.26)

где: - фазовый сдвиг, определяем по графику на чертеже КР-2068.998-26-10-00.00.000.Д1:

φ_з =180⁰ – 150⁰ = 30⁰ (2.27)

Что бы система обладала достаточным качеством, запас устойчивости по фазе должен лежать в пределах 20˚- 50˚.Запас устойчивости по амплитуде определяется по графику на чертеже КР-2068.998-26-10-00.00.000.Д1 как ордината ЛАХ на частоте фазового угла, равного π:

(2.28)

= ∞ (2.29)

Для обеспечения перерегулирования в системе не более 20 % запас по амплитуде должен быть не менее -15дБ.