Тема 12. Решение систем уравнений.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Рассмотрим алгоритм решения систем уравнений способом подстановки.

1) Выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;

2) Подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;

3) Решают получившееся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример1.Решим систему уравнений

1) Выразим из первого уравнения у через х.: у = х – 3.

2) Подставим во второе уравнение вместо буквы у выражение х – 3:

2х + (х – 3) = 9.

3) Решим полученное уравнение с переменной х.

2х + х – 3 = 9, 3х – 3 = 9, 3х = 12, х = 4.

4) Подставим в уравнение у = х – 3 вместо х число 4.

у = 4– 3 =1. х = 4, у = 1.

Ответ: (4; 1).

При решении двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения поступают следующим образом:

1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами:

2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;

3) решают получившиеся уравнения с одной переменной;

4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример2. Решим систему уравнений

Так как коэффициенты при переменной у противоположны, сложим почленно левые и правые части.

2х = 12, х = 6.

Подставив значение х в уравнение х + у = 5. 6 + у = 5, у = 5 – 6 = -1.

Ответ: х = 6, у = -1.

1. Решите систему уравнение способом подстановки:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

2. Решите систему уравнение способом сложения:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

3. Решите систему уравнение:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)

19) 20)

21) 22)

4. Решите задачу с помощью систем уравнений:

1) На одно платье и три сарафана пошло 9 м ткани, а на три таких же платья и пять таких сарафанов – 19 м ткани. Сколько ткани требуется на одно платье и сколько на один сарафан?

2) Для одной лошади и двух коров выдают ежедневно 34 кг сена, а для двух лошадей и одной коровы – 35 кг сена. Сколько сена выдают ежедневно для одной лошади и сколько для одной коровы?

3) Сумма двух чисел равна 137, а их разность равна 19. Найдите эти числа.

4) Сумма двух чисел равна 131, а их разность равна 41. Найдите эти числа

5) В 15 пакетов и 5 коробок расфасовали 2400 г конфет. В каждую коробку уместилось на 20 кг конфет больше, чем в пакет. Сколько граммов конфет было в каждом пакете и в каждой коробке?

6) В 5 больших и 11 маленьких коробок разложили 156 карандашей. В большую коробку помещалось на 12 карандашей больше, чем в маленькую. Сколько карандашей было в маленькой и сколько в большой коробке?

7) На турбазе имеются палатки и домики; всего их 25. В каждом домике живут 4 человека, а в каждой палатке 2 человека. Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если на турбазе отдыхают 70 человек?

8) У причала находилось 6 лодок, часть из которых была двухместными, а часть трёхместными. Всего в эти лодки может поместится 14 человек. Сколько двухместных и сколько трёхместных лодок было у причала?

9) Одно из двух положительных чисел в 1,5 раза больше другого , а их разность равна 7. Найдите эти числа.

10) Одно из двух положительных чисел в 2,5 раза больше другого , а их разность равна 9. Найдите эти числа.

Содержание

1. Линейное уравнение с одной переменной………….………….…....4

2. Пропорция……………………………………………..…………..…...6

3. Квадратные уравнения………….…………………………………..…6

4. Неполное квадратное уравнение……………………………….….… 8

5. Теорема Виета…………………………………………………….…….9

6. Дробные рациональные уравнения…………………………….….....10

7. Решение неравенств……………………………………………..…….10

8. Решение систем неравенств…………………………………….….....12.

9. Решение двойных неравенств………………………………........ .. ..13

10. Решение неравенств методом интервалов…...……………...…..….14

11. Целое уравнение и его корни………………………………….…….14

12. Решение систем линейных уравнений.……………………….. ….15

13. Решение систем уравнений…………………………………….……15.