2. Решите систему неравенств и укажите все целые числа, которые являются её решениями.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

Тема 9. Решение двойных неравенств.

Пример 1. Решим двойное неравенство -1 < 3 + 2х < 4.

Имеем: -1 - 3 < 3 + 2х - 3 < 4 – 3;

-1 - 3 < 2х < 4 – 3;

- 4 < 2х < 1;

- < х < ; - 2 < х < . Ответ:

1. Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству:

1) -1 < x <3 2) 0 < x < 5 3) 4)

2.Укажите все целые числа, удовлетворяющие двойному неравенству:

5) -8 < x < -5 6) -7,5 < x < 2 7) 8) .

Решите двойное неравенство:

9) 1,5 < 3x < 3 10) 3,5 < 5x < 10 11) 12) .

13) 4 < -4x < 8 14) 6 < -6x < 12 15) 16) .

17) -4 < 22 + x < -1 18) -3 < 15 + x < 3 19) -4 < 2x +1< 2

20) -6 < 5x - 1 < 5 21) 22)

23) -2 < < 2 24) -1 < < 1 25) 26)

27) 28) 29)

30) 31) 32)

33) 34)

Тема 10. Решение неравенств методом интервалов.

Решите неравенство:

1) (х - 2)(х - 5) > 0; 2) (х - 3)(х + 5) < 0; 3) (х - 1 )(х + 2) ≥ 0;

4) (х + 2)(х + 3) > 0; 5) (х + 3)(х – 0,5) < 0; 6) (х - )(х + 4) ≥ 0;

7) (х - ) (х - ) ≤ 0; 8) х(х - ) (х – 12) ≥ 0; 9) х(х + 8)(1,2 – х) ≤ 0;

10) > 0; 11) > 0; 12) ;

13) ≥ 0; 14) 15) ≥ 0;

16) ≤ 0; 17) ; 18) ;

19) ; 20 ; 21) ;

22) > 0; 23) > 0; 24) ≥ 0;

25) ≤ 0; 26) > 0; 27) ≥ 0;

28) < 0; 29) ≤ 0; 30) > 3;

31) < 1; 32) ≤ 7; 33) ≥ 1.

Тема 11. Целое уравнение и его корни.

Уравнение вида ах⁴ + bх² +с = 0 называют биквадратным уравнением.

Пример1. Решим биквадратное уравнение х⁴ + х² – 20 = 0.

Введем новую переменную у = х². Так как х⁴ = (х²)² = у², то уравнение можно переписать в виде у² + у – 20 = 0. у₁ = 4; у₂ = -5. Но у = х², значит, задача свелась к решению двух уравнений:

х² = 4; х² = -5.

х_1,2 = 2. Нет решений. Ответ: 2.

Пример2. Решим уравнение 9х³ – 18х² – х + 2 = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

9х²( х – 2) – 1(х – 2) = 0; ( х – 2) (9х² – 1) = 0;

( х – 2) (3х – 1)(3х + 1) = 0;

х – 2 = 0, или 3х – 1 = 0, или 3х + 1 = 0.

х₁ = 2 , х ₂ = , х ₃ = - . Ответ: 2 , , - .

Решите уравнение:

1) х⁴ - 10х² + 9 = 0; 2) х⁴ - 5х² + 4 = 0; 3) х⁴ +6х² - 27 = 0;

4) х⁴ + 15х² + 54 = 0; 5) х⁴ – 17х² + 16 = 0; 6) х⁴ – 10х² + 25 = 0; 7) х⁴ + 5х² + 9 = 0; 8)х⁴ + 5х² - 36 = 0; 9) 4х⁴ –37х² + 9 = 0;

10)9х⁴ – 40х²+16=0; 11) 16х⁴ - 25х² + 9 = 0; 12) 9х⁴ - 32х² - 16 = 0;

13) х³ – 25х = 0; 14) х⁴ – 4х² = 0; 15) 2х⁴ - 2х = 0;

16) х³ - 81х = 0; 17) х³ – 4х² – 9х + 36 = 0; 18)16х³–32х²–х +2=0;

19) х⁶+4х⁴–х²–4 = 0; 20) х⁶-х⁴ +5х²–5 = 0; 21) у³–2у² = у– 2 ;

22) у⁶ + 4у⁴ = у² + 4; 23) 3у² – 2у = 2у³ – 3; 24)2х⁴ –18х² = 5х³ –45х;

17) 2(х² - 1)² + 6(х² - 1) = 0; 18) (х² - 4)² + 5(х² - 4) = 0;

19) (х² +2х)² - 2(х² +2х) – 3 = 0; 20) (х² +х)² - 5(х² +х) +6 = 0;

11) 3(х + 4)² – 9(х + 4) = 0; 12) 5(х - 6)² + 11(х - 6) = (х - 6).