2.1.3. Случайные погрешности

Наиболее полно случайные погрешности могут быть описаны лишь с помощью закона распределения, в частности интегральной функцией распределения, являющейся одной из форм закона распределения F(∆). Случайные погрешности относятся к непрерывным случайным величинам, т. е. они могут принимать несчетное множество значений. Перечислить все значения, записать их не представляется возможным. Поэтому, когда говорят о вероятности появления тех или иных погрешностей, имеют в виду вероятность Р того, что погрешность либо будет меньше некоторого значения P(∆<∆₁), либо лежит в не­котором интервале значений P(∆₁<∆<∆₂). (В дальнейшем это всегда следует иметь в виду, даже если не будет сделано специальных оговорок). Здесь ∆— случайная погрешность, а

∆₁,∆₂,∆_i — значения, которые она можем принимать (аналогично: X —случайная величина, а х — значения, которые она принимает).

Функция распределения погрешностей—это распределение вероятностей появления погрешностей разной величины в функции этой величины. Это можно записать как

(2.6)

Для выяснения свойств функции распределения воспользуемся геометрической интерпретацией (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Иллюстрация свойств функции рас­пределения.

Будем рассматривать погрешность как точку ∆, занимающую на оси 0∆ различные положения. Тогда F(∆₁) есть вероятность того, что случайная погрешность ∆ попадет левее ∆₁ [согласно (2.6)]. Если фиксирована точка ∆₂>∆₁, то F(∆₂) ≥F(∆₁), т. е. функция распределения является неубывающей функцией своего аргумента. При перемещении ∆₁ вправо, в +∞, попадание ∆ левее ∆₁ становится достоверным событием, т. е. F(+∞)=1. Если перемещать точку ∆₁ влево, в — ∞, то вероятность того, что ∆ попадет левее ∆₁ в пределе стремится к невозможному событию, т. е.

F(-∞)=0.

Зная вероятности появления ∆ различных значений, можно построить график функции распределения (рис. 2.5,a).

Рис. 2.5. Функция распределения: а—случайных погрешностей; б —слу­чайной составляющей δ.

Если F(∆) симметрична относительно точки А, соответствующей вероятности 0,5, то ее целесообразно сдвинуть по оси абсцисс на ∆_А, так как это подчеркивает симметричность наблюдаемых собы­тий. Очевидно, такой сдвиг равносилен исключению системати­ческой погрешности, равной θ = ∆_А. Поэтому функция распреде­ления на рис. 2.5,б — это функция распределения только слу­чайной составляющей погрешности. Вероятность попадания случайной погрешности в заданный интервал, например, δ₁≤δ<δ₂ равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(δ₁≤δ<δ₂)=F(δ₂)- F(δ₁) (2.7)

При сужении интервала, т. е. при δ₂→ δ₁, вероятность P(δ= δ₁=δ₂) →0.

Следовательно, для непрерывных случайных погрешностей вероятность появления погрешности любого опре­деленного значения равна нулю. Это не означает, что такое событие невозможно; оно возможно, но вероятность его равна нулю,

Для описания случайных погрешностей можно воспользоваться также дифференциальной формой закона распределения— плотностью распределения

(2.8)

Плотность распределения, так же как и функция распреде­лении, является одной из форм закона распределения, но суще­ствует она только для непрерывных случайных величин. Для анализа погрешностей эта форма закона распределения является более наглядной, поэтому широко используется для описания случайных погрешностей. График плотности распределения может иметь различную форму в зависимости от закона распределения погрешностей. Для F(∆), изображенной на рис. 2.5, f(∆) имеет форму, близкую к форме колокола, как это изображено на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Кривые плотности распределения вероятности.

Из рисунка хорошо видно, что в случае а погрешность имеет две составляющие: систематическую θ = ∆_А и случайную δ, причем случай­ные погрешности группируются около θ; малые случайные погрешности (относительно θ) имеют большую плотность, нежели большие. Кривая на рис. 2.6,б соответствует исправленным результатам измерения, когда на величину систематической ошибки внесена поправка. В этом случае систематическая погрешность равна нулю, и около нулевого математического ожидания группируются случайные погрешности.

Так как

(2.9)

то вероятность появления случайных погрешностей определяется площадью, ограниченной кривой f(δ) или ее частью и осью абсцисс, в зависимости от того, какой интервал погрешностей рассматривается. Так, (2.9) дает вероятность появления случайных погрешностей, лежащих в интервале от -∞ до δ (здесь δ - некоторое предельное значение, которое может принимать слу­чайная погрешность, но индекс опущен). Следовательно, на рис. 2.6,б это площадь под кривой, лежащая левее ординаты в точке δ (заштрихованная площадь).

Вероятность того, что погрешность лежит в интервале между δ₁ и δ₂, равна площади, ограниченной ординатами в точках δ₁ и δ₂ и участками кривой f(δ) и оси абсцисс между ними. Аналитически это может быть выражено как

. (2.10)

Величина f(δ)dδ есть элемент вероятности, равный площади прямоугольника, опирающегося на dδ . Так как

(2.11)

то площадь под всей кривой f(δ) равна единице, т. е. F(δ) есть нормированная функция. Плотность распределения — это неот­рицательная функция, что непосредственно вытекает из того, что F(δ) есть неубывающая функция своего аргумента.

Выше уже говорилось, что закон распределения в любой форме является исчерпывающей вероятностной характеристи­кой случайных погрешностей как случайных величии, позволяю­щей оценить вероятность появления погрешностей разных зна­чений, или плотность, с которой распределяются значения случайных погрешностей определенной величины. Однако не всегда удобно и необходимо характеризовать случайную погреш­ность таким исчерпывающим образом. Обычно указывают некоторые числовые характеристики слу­чайных погрешностей, отражающие основные черты закона ее распределения. При анализе случайных погрешностей исполь­зуются следующие основные числовые характеристики:

1) мате­матическое ожидание, мода, медиана,

2) начальные и централь­ные моменты,

3) дисперсия и среднее квадратическое отклоне­ние,

4) коэффициент асимметрии и эксцесс.

Большинство из названных числовых характеристик опреде­ляется через моменты.