Завдання 6
Чисельне розв’язування нелінійних рівнянь методом хорд та методом дотичних
Розв’язати нелінійне рівняння:
x3 - x2 - 4,4ax + 4a = 0
де a = 0,1·N, N – номер варіанту, який обирається за списком групи,
Виконати:
1) відокремити корені x1 , x2 , x3 , x1 <x2 <x3 ;
2) корені x1 , x3 знайти методом хорд;
3) корінь x2 знайти методом простих ітерацій,
Корені рівняння знаходити з точністю ε=0,0001,
Вар 1
a = 0,1·1 = 0,1
x3 - x2 - 0,44x + 0,4 = 0
Рівняння має 3 корені, Візьмемо похідну і знайдемо її корені: похідна
3x2 - 2x - 0,44 = 0
D = 4 + 4*3*0,44 = 9,28 (корінь приблизно 3,046)
х1 = (2 - 3,046)/6 =-0,1743
х2 = (2 + 3,046)/6 =0,841
Знайдені приблизні значення коренів похідної від нашого р-ня, х1 та х2 занесемо в таблицю:
х |
-∞ |
х1=-0,1743 |
х2=0,841 |
+∞ |
x3 - x2 - 1,32x + 1,2 |
-∞ < 0 |
0,44 > 0 |
-0,08 < 0 |
+∞ > 0 |
Отже, 1-й корінь самого р-ня знаходиться десь між -∞ та -0,1743
2-й корінь знаходиться десь між -0,1743 та 0,841
3й між 0,841 та +∞
Спробуємо трохи зменшити проміжки,
Обрахуємо значення функції x3 - x2 - 0,44x + 0,4 = 0 в точках -1, 0, 1, 2:
(-1)*(-1)*(-1) - (-1)*(-1) -0,44*(-1) +0,4 = -1,16
(0)*(0)*(0) - (0)*(0) -0,44*(0) +0,4 = 0,4
Отже, 1-й корінь знаходиться десь між -1 та 0,
(0)*(0)*(0) - (0)*(0) -0,44*(0) +0,4 = 0,4
(1)*(1)*(1) - (1)*(1) -0,44*(1) +0,4 = -0,04
Отже, 2-й корінь знаходиться десь між 0 та 1,
(1)*(1)*(1) - (1)*(1) -0,44*(1) +0,4 = -0,04
(2)*(2)*(2) - (2)*(2) -0,44*(2) +0,4 = 3,52
Отже, 3-й корінь знаходиться десь між 1 та 2,
Знайдемо перший корінь р-ня методом хорд, шукаємо на проміжку [-1,0]:
x3 - x2 - 0,44x + 0,4 = 0
x*x*x-x*x-0,44*x+0,4
Маємо точки x1 = -1 та x2 = 0 – це абсциси кінців хорди,
хi+1 = хi-1 - (хi – хi-1)f(xi-1)/(f(xi) - f(xi-1)) (*)
В кожному наступному наближенні, в якості одної точки обирається точка, що обчислена за допомогою (*), а в якості другої точки обирається точка, функція в якій має різний знак із функцією в обчисленій точці,
Запишемо розрахунки в таблицу, лівий кінець нерухомий
крок |
x |
F(x) |
|x(i) - x(i-1)| |
x2 |
-0,25641 |
0,43022 |
0,25641 |
x3 |
-0,45758 |
0,29615 |
0,20117 |
x4 |
-0,56790 |
0,14421 |
0,11032 |
x5 |
-0,61568 |
0,05846 |
0,04778 |
x6 |
-0,63412 |
0,02193 |
0,01844 |
x7 |
-0,64090 |
0,00798 |
0,00678 |
x8 |
-0,64336 |
0,00288 |
0,00246 |
x9 |
-0,64424 |
0,00103 |
0,00088 |
x10 |
-0,64456 |
0,00037 |
0,00032 |
x11 |
-0,64467 |
0,00013 |
0,00011 |
x12 |
-0,64471 |
0,00005 |
4E-05 |
x = -0,64471
Отже, перший корінь рівняння це x =-0,64471 (якщо підставити його в р-ня, матимемо 0,000047… що менше по модулю ніж 0,0001),
Знайдемо другий корінь р-ня методом простих ітерацій, шукаємо на проміжку [0,1]:
Для цього треба привести рівняння до вигляду х = φ(х) так, щоб | φ’ (х) | <1 при х є [0;1], Так як max|f’(x)|= 0,56 , то можно взяти k=-0,56
Тоді φ(х)= х – f(x)/k = …
xi+1 = φ(хi)= хi – f(xi)/k =…
Запишемо розрахунки в таблицу,
х |
f(x) |
f'(x) |
k |
ф(х)=х-f(x)/k |
|
|
0 |
0,4 |
-0,44 |
-0,56 |
0,714286 |
|
|
1 |
-0,04 |
0,56 |
-0,56 |
0,928571 |
|
|
0,928571 |
-0,07016 |
0,289592 |
-0,56 |
0,803285 |
|
|
0,803285 |
-0,08038 |
-0,11077 |
-0,56 |
0,659751 |
|
|
0,659751 |
-0,03839 |
-0,45369 |
-0,56 |
0,591195 |
|
|
0,591195 |
-0,00301 |
-0,57385 |
-0,56 |
0,585824 |
|
|
0,585824 |
9,66E-05 |
-0,58208 |
-0,56 |
0,585996 |
|
|
Отже, другий корінь рівняння це x =0,585824 (якщо підставити його в р-ня, матимемо 0,0000965… що менше по модулю ніж 0,0001),
Знайдемо третій корінь р-ня методом хорд, шукаємо на проміжку [1,2]:
Маємо точки x1 = 1 та x2 = 2 – це абсциси кінців хорди,
Знайдемо перше наближення до кореня:
хi+1 = хi-1 - (хi – хi-1)f(xi-1)/(f(xi) - f(xi-1)) (*)
В кожному наступному наближенні, в якості одної точки обирається точка, що обчислена за допомогою (*), а в якості другої точки обирається точка, функція в якій має різний знак із функцією в обчисленій точці,
Запишемо розрахунки в таблицу, правий кінець нерухомий
крок |
x |
F(x) |
|x(i) - x(i-1)| |
x2 |
1,01124 |
-0,03345 |
0,01124 |
x3 |
1,02054 |
-0,02764 |
0,0093 |
x4 |
1,02817 |
-0,02261 |
0,00763 |
x5 |
1,03438 |
-0,01834 |
0,00621 |
x6 |
1,03938 |
-0,01478 |
0,005 |
x7 |
1,04340 |
-0,01185 |
0,00402 |
x8 |
1,04661 |
-0,00945 |
0,00321 |
x9 |
1,04916 |
-0,00752 |
0,00255 |
x10 |
1,05119 |
-0,00596 |
0,00203 |
x11 |
1,05279 |
-0,00472 |
0,0016 |
x12 |
1,05406 |
-0,00372 |
0,00127 |
x13 |
1,05506 |
-0,00294 |
0,001 |
x14 |
1,05585 |
-0,00231 |
0,00079 |
x15 |
1,05647 |
-0,00182 |
0,00062 |
x16 |
1,05695 |
-0,00143 |
0,00048 |
x17 |
1,05734 |
-0,00113 |
0,00039 |
x18 |
1,05764 |
-0,00089 |
0,0003 |
x19 |
1,05788 |
-0,00069 |
0,00024 |
x20 |
1,05806 |
-0,00055 |
0,00018 |
x21 |
1,05821 |
-0,00043 |
0,00015 |
x22 |
1,05832 |
-0,00034 |
0,00011 |
x23 |
1,05842 |
-0,00026 |
1E-04 |
x24 |
1,05849 |
-0,00021 |
7E-05 |
x25 |
1,05854 |
-0,00016 |
5E-05 |
x26 |
1,05858 |
-0,00013 |
4E-05 |
x27 |
1,05862 |
-0,0001 |
4E-05 |
x = 1,05862
Отже, третій корінь рівняння це x = 1,05862 (якщо підставити його в р-ня, матимемо -0,000098755… що менше по модулю ніж 0,0001),
Вар 2
a = 0,1·2 = 0,2
x3 - x2 - 0,88x + 0,8 = 0
Рівняння має 3 корені, Візьмемо похідну і знайдемо її корені: похідна
3x2 - 2x - 0,8= 0
D = 4 + 4*3*0,88 = 14,56 (корінь приблизно 3,82)
х1 = (2 - 3,82)/6 =-0,303
х2 = (2 + 3,82)/6 =0,97
Знайдені приблизні значення коренів похідної від нашого р-ня, х1 та х2 занесемо в таблицю:
х |
-∞ |
х1=-0,303 |
х2=0,97 |
+∞ |
x3 - x2 - 1,32x + 1,2 |
-∞ < 0 |
0,947 > 0 |
-0,082 < 0 |
+∞ > 0 |
(-0,303)*(- 0,303)*(- 0,303) - (-0,303)*(- 0,303) -0,88*(-0,303) +0,8 = 0,947
(0,97)*( 0,97)*( 0,97) - (0,97)*( 0,97) -0,88*(0,97) +0,8 = -0,082
Отже, 1-й корінь знаходиться десь між -∞ та -0,303
2-й корінь знаходиться десь між -0,303та 0,97
3й між 0,97 та +∞
Спробуємо трохи зменшити проміжки, Обрахуємо значення функції в точці -1, 0, 1, 2:
(-1)*( -1)*( -1) - (-1)*( -1) -0,88*(-1) +0,8 = -0,32
(0)*( 0)*( 0) - (0)*( 0) -0,88*(0) +0,8 = 0,8
Отже, 1-й корінь знаходиться десь між -1 та 0
(0)*( 0)*( 0) - (0)*( 0) -0,88*(0) +0,8 = 0,8
(1)*( 1)*( 1) - (1)*( 1) -0,88*(1) +0,8 = -0,08
Отже, 2-й корінь знаходиться десь між 0 та 1,
(1)*( 1)*( 1) - (1)*( 1) -0,88*(1) +0,8 = -0,08
(2)*( 2)*( 2) - (2)*( 2) -0,88*(2) +0,8 = 3,04
Отже, 3-й корінь знаходиться десь між 1 та 2,
Знайдемо перший корінь р-ня методом хорд, шукаємо на проміжку [-1,0]:
Маємо точки x1 = -1 та x2 = 0 – це абсциси кінців хорди,
хi+1 = хi-1 - (хi – хi-1)f(xi-1)/(f(xi) - f(xi-1)) (*)
В кожному наступному наближенні, в якості одної точки обирається точка, що обчислена за допомогою (*), а в якості другої точки обирається точка, функція в якій має різний знак із функцією в обчисленій точці,
Запишемо розрахунки в таблицу, правий кінець нерухомий
крок |
x |
F(x) |
|x(i) - x(i-1)| |
x2 |
-0,71429 |
0,55394 |
0,71429 |
x3 |
-0,89538 |
0,06839 |
0,18109 |
x4 |
-0,91380 |
0,00605 |
0,01842 |
x5 |
-0,91540 |
0,00051 |
0,0016 |
x6 |
-0,91554 |
0,00005 |
0,00014 |
х = -0,91554
(-0,91554)* (-0,91554)* (-0,91554)- (-0,91554)* (-0,91554)-0,88*(-0,91554)+0,8
Отже, перший корінь рівняння це x = -0,91554 (якщо підставити його в р-ня, матимемо 0,0000437… що менше по модулю ніж 0,0001),
Знайдемо другий корінь р-ня методом хорд, шукаємо на проміжку [0,1]:
Для цього треба привести рівняння до вигляду х = φ(х) так, щоб | φ’ (х) | <1 при х є [-1;0], Так як max|f’(x)|= 0,88 , то можно взяти k=-0,88
Тоді φ(х)= х – f(x)/k = …
xi+1 = φ(хi)= хi – f(xi)/k =…
Запишемо розрахунки в таблицу,
х |
f(x) |
f'(x) |
k |
ф(х)=х-f(x)/k |
0 |
0,8 |
-0,88 |
-0,88 |
0,909091 |
1 |
-0,08 |
0,12 |
-0,88 |
0,909091 |
0,909091 |
-0,07513 |
-0,21884 |
-0,88 |
0,823714 |
0,823714 |
-0,04448 |
-0,49191 |
-0,88 |
0,77317 |
0,77317 |
-0,01599 |
-0,63297 |
-0,88 |
0,755003 |
0,755003 |
-0,00406 |
-0,67992 |
-0,88 |
0,750391 |
0,750391 |
-0,0009 |
-0,69152 |
-0,88 |
0,749373 |
0,749373 |
-0,00019 |
-0,69407 |
-0,88 |
0,749157 |
0,749157 |
-4E-05 |
-0,69461 |
-0,88 |
0,749111 |
0,749157* 0,749157* 0,749157- 0,749157* 0,749157-0,88* 0,749157+0,8
Отже, другий корінь рівняння це x =0,749157 (якщо підставити його в р-ня, матимемо -0,00004… що менше по модулю ніж 0,0001),
Знайдемо третій корінь р-ня методом хорд, шукаємо на проміжку [1,2]:
Маємо точки x1 = 1 та x2 = 2 – це абсциси кінців хорди,
хi+1 = хi-1 - (хi – хi-1)f(xi-1)/(f(xi) - f(xi-1)) (*)
В кожному наступному наближенні, в якості одної точки обирається точка, що обчислена за допомогою (*), а в якості другої точки обирається точка, функція в якій має різний знак із функцією в обчисленій точці,
Запишемо розрахунки в таблицу, правий кінець нерухомий
крок |
x |
F(x) |
|x(i) - x(i-1)| |
x2 |
1,02564 |
-0,07559 |
0,02564 |
x3 |
1,04928 |
-0,06911 |
0,02364 |
x4 |
1,07041 |
-0,06129 |
0,02113 |
x5 |
1,08878 |
-0,05288 |
0,01837 |
x6 |
1,10436 |
-0,04456 |
0,01558 |
x7 |
1,11730 |
-0,03679 |
0,01294 |
x8 |
1,12786 |
-0,02987 |
0,01056 |
x9 |
1,13634 |
-0,02393 |
0,00848 |
x10 |
1,14309 |
-0,01895 |
0,00675 |
x11 |
1,14840 |
-0,01488 |
0,00531 |
x12 |
1,15255 |
-0,0116 |
0,00415 |
x13 |
1,15577 |
-0,009 |
0,00322 |
x14 |
1,15826 |
-0,00695 |
0,00249 |
x15 |
1,16018 |
-0,00535 |
0,00192 |
x16 |
1,16165 |
-0,00411 |
0,00147 |
x17 |
1,16279 |
-0,00315 |
0,00114 |
x18 |
1,16365 |
-0,00241 |
0,00086 |
x19 |
1,16431 |
-0,00185 |
0,00066 |
x20 |
1,16482 |
-0,00141 |
0,00051 |
x21 |
1,16521 |
-0,00108 |
0,00039 |
x22 |
1,16551 |
-0,00082 |
0,0003 |
x23 |
1,16573 |
-0,00063 |
0,00022 |
x24 |
1,16590 |
-0,00048 |
0,00017 |
x25 |
1,16604 |
-0,00036 |
0,00014 |
x26 |
1,16614 |
-0,00028 |
1E-04 |
x27 |
1,16621 |
-0,00021 |
7E-05 |
x28 |
1,16627 |
-0,00016 |
6E-05 |
x29 |
1,16631 |
-0,00012 |
4E-05 |
x30 |
1,16635 |
-0,00009 |
4E-05 |
х = 1,16635
1,16635* 1,16635* 1,16635- 1,16635* 1,16635-0,88* 1,16635+0,8
Отже, третій корінь рівняння це x =1,16635 (якщо підставити його в р-ня, матимемо -0,00009… що менше по модулю ніж 0,0001),
Вар3
a = 0,1·3 = 0,3
x3 - x2 - 1,32x + 1,2 = 0
Рівняння має 3 корені, Візьмемо похідну і знайдемо її корені: похідна
3x2 - 2x - 1,32 = 0
D = 4 + 4*3*1,32 = 19,84 (корінь приблизно 4,45)
х1 = (2 - 4,45)/6 =-0,408
х2 = (2 + 4,45)/6 =1,075
Знайдені корені (їх приблизні значення) похідної від нашого р-ня, х1 та х2 занесемо в таблицю:
х |
-∞ |
х1=-0,408 |
х2=1,075 |
+∞ |
x3 - x2 - 1,32x + 1,2 |
-∞ < 0 |
1,5 > 0 |
-0,125 < 0 |
+∞ > 0 |
Отже, 1-й корінь самого р-ня знаходиться десь між -∞ та -0,408
2-й корінь знаходиться десь між -0,408 та 1,075
3й між 1,075 та +∞
Спробуємо трохи зменшити проміжки, Обрахуємо значення функції в точці -1:
(-2)3 – (-2)2 - 1,32(-2) + 1,2 = -8 - 4 + 2,64 + 1,2 = -8,16 < 0
(-1)3 – (-1)2 - 1,32(-1) + 1,2 = -1 - 1 + 1,32 + 1,2 =0,52 >0
Отже, 1-й корінь знаходиться десь між -2 та -1,
(0)3 – (0)2 - 1,32*0 + 1,2 = 1,2 >0
(1)3 – (1)2 - 1,32 + 1,2 =-0,12 < 0
Отже, 2-й корінь знаходиться десь між 0 та 1,
(1)3 – (1)2 - 1,32 + 1,2 =-0,12 < 0
(2)3 – (2)2 - 1,32*2 + 1,2 = 8 - 4 - 2,64 + 1,2 = 2,56 >0
Отже, 3-й корінь знаходиться десь між 1 та 2,
Знайдемо перший корінь р-ня методом хорд, шукаємо на проміжку [-2,-1]:
Маємо точки x1 = -2 та x2 = -1 – це абсциси кінців хорди,
хi+1 = хi-1 - (хi – хi-1)f(xi-1)/(f(xi) - f(xi-1)) (*)
В кожному наступному наближенні, в якості одної точки обирається точка, що обчислена за допомогою (*), а в якості другої точки обирається точка, функція в якій має різний знак із функцією в обчисленій точці,
Запишемо розрахунки в таблицу, лівий кінець нерухомий
крок |
x |
F(x) |
|x(i) - x(i-1)| |
x2 |
-1,05991 |
0,28497 |
0,05991 |
x3 |
-1,09163 |
0,14845 |
0,03172 |
x4 |
-1,10786 |
0,07528 |
0,01623 |
x5 |
-1,11602 |
0,03766 |
0,00816 |
x6 |
-1,12008 |
0,01871 |
0,00406 |
x7 |
-1,12209 |
0,00927 |
0,00201 |
x8 |
-1,12309 |
0,00458 |
0,001 |
x9 |
-1,12358 |
0,00226 |
0,00049 |
x10 |
-1,12382 |
0,00112 |
0,00024 |
x11 |
-1,12394 |
0,00055 |
0,00012 |
x12 |
-1,12400 |
0,00027 |
6E-05 |
x13 |
-1,12403 |
0,00013 |
3E-05 |
x14 |
-1,12404 |
0,00007 |
1E-05 |
x = -1,12404
Знайдемо другий корінь р-ня методом простих ітерацій, шукаємо на проміжку [0,1]:
Для цього треба привести рівняння до вигляду х = φ(х) так, щоб | φ’ (х) | <1 при х є [-1;0], Так як max|f’(x)|= -1,32 , то можно взяти k=-1,32
Тоді φ(х)= х – f(x)/k =
xi+1 = φ(хi)= хi – f(xi)/k =…
Запишемо розрахунки в таблицу,
х |
f(x) |
f'(x) |
k |
ф(х)=х-f(x)/k |
0 |
1,2 |
-1,32 |
-1,32 |
0,909091 |
1 |
-0,12 |
-0,32 |
-1,32 |
0,909091 |
0,909091 |
-0,07513148 |
-0,65884 |
-1,32 |
0,852173 |
0,852173 |
-0,032220256 |
-0,84575 |
-1,32 |
0,827764 |
0,827764 |
-0,010663272 |
-0,91995 |
-1,32 |
0,819686 |
0,819686 |
-0,003135439 |
-0,94372 |
-1,32 |
0,81731 |
0,81731 |
-0,000885577 |
-0,95063 |
-1,32 |
0,816639 |
0,816639 |
-0,000247152 |
-0,95258 |
-1,32 |
0,816452 |
0,816452 |
-6,87438E-05 |
-0,95312 |
-1,32 |
0,8164 |
0,8164 |
-1,91026E-05 |
-0,95327 |
-1,32 |
0,816386 |
0,816386 |
-5,30684E-06 |
-0,95331 |
-1,32 |
0,816382 |
Отже, другий корінь рівняння це x =0,816452 (якщо підставити його в р-ня, матимемо -0,00006874… менше по модулю ніж 0,0001),
Знайдемо третій корінь р-ня методом хорд, шукаємо на проміжку [1,2]:
Маємо точки x1 = 1 та x2 = 2 – це абсциси кінців хорди,
Знайдемо перше наближення до кореня:
хi+1 = хi-1 - (хi – хi-1)f(xi-1)/(f(xi) - f(xi-1)) (*)
В кожному наступному наближенні, в якості одної точки обирається точка, що обчислена за допомогою (*), а в якості другої точки обирається точка, функція в якій має різний знак із функцією в обчисленій точці,
Запишемо розрахунки в таблицу, правий кінець нерухомий
крок |
x |
F(x) |
|x(i) - x(i-1)| |
x2 |
1,04478 |
-0,13023 |
0,04478 |
x3 |
1,09102 |
-0,1318 |
0,04624 |
x4 |
1,13552 |
-0,12415 |
0,0445 |
x5 |
1,17551 |
-0,10915 |
0,03999 |
x6 |
1,20922 |
-0,09024 |
0,03371 |
x7 |
1,23615 |
-0,07086 |
0,02693 |
x8 |
1,25672 |
-0,05342 |
0,02057 |
x9 |
1,27192 |
-0,03903 |
0,0152 |
x10 |
1,28285 |
-0,02787 |
0,01093 |
x11 |
1,29057 |
-0,01958 |
0,00772 |
x12 |
1,29596 |
-0,0136 |
0,00539 |
x13 |
1,29968 |
-0,00937 |
0,00372 |
x14 |
1,30223 |
-0,00642 |
0,00255 |
x15 |
1,30398 |
-0,00438 |
0,00175 |
x16 |
1,30517 |
-0,00298 |
0,00119 |
x17 |
1,30598 |
-0,00202 |
0,00081 |
x18 |
1,30652 |
-0,00138 |
0,00054 |
x19 |
1,30690 |
-0,00093 |
0,00038 |
x20 |
1,30715 |
-0,00063 |
0,00025 |
x21 |
1,30732 |
-0,00043 |
0,00017 |
x22 |
1,30743 |
-0,00029 |
0,00011 |
x23 |
1,30751 |
-0,0002 |
8E-05 |
x24 |
1,30757 |
-0,00013 |
6E-05 |
x25 |
1,30760 |
-0,00009 |
3E-05 |
x = 1,30760
Вар4
a = 0,1·4 = 0,4
x3 - x2 - 1,76x + 1,6 = 0
Рівняння має 3 корені, Візьмемо похідну і знайдемо її корені: похідна
3x2 - 2x - 1,76 = 0
D = 4 + 4*3*1,76 = 25,12 (корінь приблизно 5,01)
х1 = (2 - 5,01)/6 =-0,502
х2 = (2 + 5,01)/6 =1,168
Знайдені корені (їх приблизні значення) похідної від нашого р-ня, х1 та х2 занесемо в таблицю:
х |
-∞ |
х1=-0,502 |
х2=1,168 |
+∞ |
x3 - x2 - 1,32x + 1,2 |
-∞ < 0 |
0,591 > 0 |
-0,226 < 0 |
+∞ > 0 |
Отже, 1-й корінь знаходиться десь між -∞ та -0,502
2-й корінь знаходиться десь між -0,502та 1,168
3й між 1,168та +∞
Спробуємо трохи зменшити проміжки, Обрахуємо значення функції в точці -1:
(-2)3 – (-2)2 - 1,76(-2) + 1,6 = -8 - 4 + 3,52 + 1,6 = -6,88 < 0
(-1)3 – (-1)2 - 1,76(-1) + 1,6 = -1 - 1 + 1,76 + 1,6 =1,36 >0
Отже, 1-й корінь знаходиться десь між -2 та -1,
(0)3 – (0)2 - 1,76*0 + 1,6 = 1,6 >0
(1)3 – (1)2 - 1,76 + 1,6 =-0,16 < 0
Отже, 2-й корінь знаходиться десь між 0 та 1,
(1)3 – (1)2 - 1,76 + 1,6 =-0,16 < 0
(2)3 – (2)2 - 1,76*2 + 1,6 = 8 - 4 - 3,52 + 1,6 = 2,08 > 0
Отже, 3-й корінь знаходиться десь між 1 та 2,
Знайдемо перший корінь р-ня методом хорд, шукаємо на проміжку [-2,-1]:
Маємо точки x1 = -2 та x2 = -1 – це абсциси кінців хорди,
хi+1 = хi-1 - (хi – хi-1)f(xi-1)/(f(xi) - f(xi-1)) (*)
В кожному наступному наближенні, в якості одної точки обирається точка, що обчислена за допомогою (*), а в якості другої точки обирається точка, функція в якій має різний знак із функцією в обчисленій точці,
Запишемо розрахунки в таблицу, лівий кінець нерухомий
крок |
x |
F(x) |
|x(i) - x(i-1)| |
x2 |
-1,16505 |
0,71178 |
0,16505 |
x3 |
-1,24333 |
0,32036 |
0,07828 |
x4 |
-1,27700 |
0,13437 |
0,03367 |
x5 |
-1,29085 |
0,05469 |
0,01385 |
x6 |
-1,29644 |
0,02198 |
0,00559 |
x7 |
-1,29868 |
0,00879 |
0,00224 |
x8 |
-1,29957 |
0,00351 |
0,00089 |
x9 |
-1,29993 |
0,0014 |
0,00036 |
x10 |
-1,30007 |
0,00056 |
0,00014 |
x11 |
-1,30013 |
0,00022 |
6E-05 |
x12 |
-1,30015 |
0,00009 |
2E-05 |
х = -1,30015
Знайдемо другий корінь р-ня методом хорд, шукаємо на проміжку [0,1]:
Для цього треба привести рівняння до вигляду х = φ(х) так, щоб | φ’ (х) | <1 при х є [-1;0], Так як max|f’(x)|= -1,76 , то можно взяти k=-1,76
Тоді φ(х)= х – f(x)/k = …
xi+1 = φ(хi)= хi – f(xi)/k =…
Запишемо розрахунки в таблицу,
х |
f(x) |
f'(x) |
k |
ф(х)=х-f(x)/k |
0 |
1,6 |
-1,76 |
-1,76 |
0,909091 |
1 |
-0,16 |
-0,76 |
-1,76 |
0,909091 |
0,909091 |
-0,07513 |
-1,09884 |
-1,76 |
0,866403 |
0,866403 |
-0,02515 |
-1,24084 |
-1,76 |
0,852111 |
0,852111 |
-0,0071 |
-1,28594 |
-1,76 |
0,848079 |
0,848079 |
-0,00189 |
-1,29844 |
-1,76 |
0,847007 |
0,847007 |
-0,00049 |
-1,30175 |
-1,76 |
0,846727 |
0,846727 |
-0,00013 |
-1,30261 |
-1,76 |
0,846654 |
0,846654 |
-3,3E-05 |
-1,30284 |
-1,76 |
0,846635 |
Отже, другий корінь рівняння це x =0,846654 (якщо підставити його в р-ня, матимемо -0,000033… що менше по модулю ніж 0,0001),
Знайдемо третій корінь р-ня методом хорд, шукаємо на проміжку [1,2]:
Маємо точки x1 = 1 та x2 = 2 – це абсциси кінців хорди,
хi+1 = хi-1 - (хi – хi-1)f(xi-1)/(f(xi) - f(xi-1)) (*)
В кожному наступному наближенні, в якості одної точки обирається точка, що обчислена за допомогою (*), а в якості другої точки обирається точка, функція в якій має різний знак із функцією в обчисленій точці,
Запишемо розрахунки в таблицу, правий кінець нерухомий
крок |
x |
F(x) |
|x(i) - x(i-1)| |
x2 |
1,07143 |
-0,20372 |
0,07143 |
x3 |
1,15426 |
-0,22597 |
0,08283 |
x4 |
1,23714 |
-0,21442 |
0,08288 |
x5 |
1,30843 |
-0,17481 |
0,07129 |
x6 |
1,36205 |
-0,12554 |
0,05362 |
x7 |
1,39836 |
-0,08216 |
0,03631 |
x8 |
1,42122 |
-0,05054 |
0,02286 |
x9 |
1,43495 |
-0,02991 |
0,01373 |
x10 |
1,44296 |
-0,01731 |
0,00801 |
x11 |
1,44756 |
-0,00988 |
0,0046 |
x12 |
1,45017 |
-0,0056 |
0,00261 |
x13 |
1,45165 |
-0,00315 |
0,00148 |
x14 |
1,45247 |
-0,00178 |
0,00082 |
x15 |
1,45294 |
-0,001 |
0,00047 |
x16 |
1,45321 |
-0,00056 |
0,00027 |
x17 |
1,45335 |
-0,00031 |
0,00014 |
x18 |
1,45343 |
-0,00018 |
8E-05 |
x19 |
1,45348 |
-0,0001 |
5E-05 |
х = 1,45348
Вар7
a = 0,1·7 = 0,7
x3 - x2 - 3,08x + 2,8 = 0
Рівняння має 3 корені, Візьмемо похідну і знайдемо її корені: похідна
3x2 - 2x - 3,08 = 0
D = 4 + 4*3*3,08= 40,96 (корінь 6,4)
х1 = (2 - 6,4)/6 =-0,733
х2 = (2 + 6,4)/6 =1,4
1,4*1,4*1,4-1,4*1,4- 3,08*1,4+ 2,8
Знайдені корені (їх приблизні значення) похідної від нашого р-ня, х1 та х2 занесемо в таблицю:
х |
-∞ |
х1=-0,733 |
х2=1,4 |
+∞ |
x3 - x2 - 1,32x + 1,2 |
-∞ < 0 |
4,12 > 0 |
-0,728 < 0 |
+∞ > 0 |
Отже, 1-й корінь знаходиться десь між -∞ та -0,733
2-й корінь знаходиться десь між -0,733 та 1,4
3й між 1,4 та +∞
Спробуємо трохи зменшити проміжки, Обрахуємо значення функції в точці -1:
(-2)3 – (-2)2 - 3,08 (-2) + 2,8 = -8 - 4 + 6,16 + 2,8 = -3,04 < 0
(-1)3 – (-1)2 - 3,08 (-1) + 2,8 = -1 - 1 + 3,08 + 2,8 =3,88 >0
Отже, 1-й корінь знаходиться десь між -2 та -1,
(0)3 – (0)2 - 3,08*0 + 2,8 = 2,8 >0
(1)3 – (1)2 - 3,08+ 2,8 =-0,28 < 0
Отже, 2-й корінь знаходиться десь між 0 та 1,
(1)3 – (1)2 - 3,08+ 2,8 =-0,28 < 0
(2)3 – (2)2 - 3,08*2 + 2,8 = 8 - 4 - 6,16 + 2,8 = 0,64 > 0
Отже, 3-й корінь знаходиться десь між 1 та 2,
Знайдемо перший корінь р-ня методом хорд, шукаємо на проміжку [-2,-1]:
Маємо точки x1 = -2 та x2 = -1 – це абсциси кінців хорди,
хi+1 = хi-1 - (хi – хi-1)f(xi-1)/(f(xi) - f(xi-1)) (*)
В кожному наступному наближенні, в якості одної точки обирається точка, що обчислена за допомогою (*), а в якості другої точки обирається точка, функція в якій має різний знак із функцією в обчисленій точці,
Запишемо розрахунки в таблицу, лівий кінець нерухомий
крок |
x |
F(x) |
|x(i) - x(i-1)| |
x2 |
-1,56069 |
1,36969 |
0,56069 |
x3 |
-1,69715 |
0,25861 |
0,13646 |
x4 |
-1,72089 |
0,04253 |
0,02374 |
x5 |
-1,72474 |
0,00683 |
0,00385 |
x6 |
-1,72536 |
0,00109 |
0,00062 |
x7 |
-1,72546 |
0,00018 |
1E-04 |
x8 |
-1,72547 |
0,00003 |
1E-05 |
х = -1,72547
Знайдемо другий корінь р-ня методом хорд, шукаємо на проміжку [0,1]:
Для цього треба привести рівняння до вигляду х = φ(х) так, щоб | φ’ (х) | <1 при х є [-1;0], Так як max|f’(x)|= -3,08 , то можно взяти k=-3,32
Тоді φ(х)= х – f(x)/k = …
xi+1 = φ(хi)= хi – f(xi)/k =…
Запишемо розрахунки в таблицу,
х |
f(x) |
f'(x) |
k |
ф(х)=х-f(x)/k |
0 |
2,8 |
-3,08 |
-3,08 |
0,909091 |
1 |
-0,28 |
-2,08 |
-3,08 |
0,909091 |
0,909091 |
-0,07513 |
-2,41884 |
-3,08 |
0,884698 |
0,884698 |
-0,01511 |
-2,50133 |
-3,08 |
0,87979 |
0,87979 |
-0,0028 |
-2,51749 |
-3,08 |
0,878881 |
0,878881 |
-0,00051 |
-2,52047 |
-3,08 |
0,878716 |
0,878716 |
-9,3E-05 |
-2,52101 |
-3,08 |
0,878685 |
Отже, другий корінь рівняння це x =0,878716 (якщо підставити його в р-ня, матимемо -0,000093… що менше по модулю ніж 0,0001),
Знайдемо третій корінь р-ня методом хорд, шукаємо на проміжку [1,2]:
Маємо точки x1 = 1 та x2 = 2 – це абсциси кінців хорди,
хi+1 = хi-1 - (хi – хi-1)f(xi-1)/(f(xi) - f(xi-1)) (*)
В кожному наступному наближенні, в якості одної точки обирається точка, що обчислена за допомогою (*), а в якості другої точки обирається точка, функція в якій має різний знак із функцією в обчисленій точці,
Запишемо розрахунки в таблицу, правий кінець нерухомий
крок |
x |
F(x) |
|x(i) - x(i-1)| |
x2 |
1,30435 |
-0,6996 |
0,30435 |
x3 |
1,66765 |
-0,47959 |
0,3633 |
x4 |
1,81002 |
-0,12111 |
0,14237 |
x5 |
1,84025 |
-0,02246 |
0,03023 |
x6 |
1,84566 |
-0,00392 |
0,00541 |
x7 |
1,84660 |
-0,00067 |
0,00094 |
x8 |
1,84676 |
-0,00012 |
0,00016 |
x9 |
1,84679 |
-0,00002 |
3E-05 |
х = 1,84679