Завдання 5

Чисельне розв’язування нелінійних рівнянь методом поділу відрізку пополам, Відокремлення коренів рівняння, Завдання 1, 1) Відокремити корінь рівняння,

2) Методом поділу відрізку пополам знайти розв'язок нелінійного рівняння на відрізку [a, b ] з точністю 0,01

Вар 1

e^x + x = 0 це все одно, що e^x = -x

Спочатку відокремимо корені, Для цього ми побудуємо графіки у1= e^x і у2=-x

Х	-0,8	-0,7	-0,6	-0,5	-0,4
ex	0,449	0,497	0,549	0,607	0,670
-x	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4

Зауважимо, що на графіку (або з таблиці значень) видно, що корінь знаходиться десь між -0,8 та -0,4

Отже, на цьому проміжку ми і застосуємо метод поділу відрізку пополам,

e^-0,8 - 0,8 = 0,449 - 0,8 = -0,351

e^-0,4 - 0,4 = 0,670 - 0,4 = 0,27

Візьмемо с =( -0,8 -0,4)/2 = -0,6

e^-0,6 - 0,6 = 0,549 - 0,6 = -0,051 ; |-0,051| > 0,01

Так як -0,051 * 0,27 < 0, то корінь шукаємо вже між -0,6 та -0,4

(-0,6 -0,4)/2 = -0,5

e^-0,5 - 0,5 = 0,607 - 0,5 = 0,107 > 0,01

Так як -0,051 * 0,107 < 0, то корінь шукаємо вже між -0,6 та -0,5

(-0,6 -0,5)/2 = -0,55

e^-0,55 - 0,55 = 0,577- 0,55 = 0,027 > 0,01

Так як -0,051 * 0,027 < 0, то корінь шукаємо вже між -0,6 та -0,55

(-0,6 -0,55)/2 = -0,575

e^-0,575 - 0,575 = 0,563- 0,575 = -0,0127 ; |-0,0127| > 0,01

Так як -0,0127 * 0,027 < 0, то корінь шукаємо вже між -0,575 та -0,55

(-0,575 -0,55)/2 = -0,5625

e^-0,5625 - 0,5625 = 0,5698- 0,5625 = 0,0073

Так як -0,0127 * 0,073 < 0, то корінь шукаємо вже між -0,575 та -0,5625

(-0,575 -0,5625)/2 = -0,56875

e^-0,56875 - 0,56875 = 0,56623- 0,56875 =- 0,00252

корінь шукаємо вже між -0,56875 та -0,5625

(-0,56875 -0,5625)/2 = -0,565625

e^-0,565625 - 0,565625 = 0,56800- 0,565625 = 0,002375

корінь шукаємо вже між -0,56875 та -0,565625

(-0,56875 -0,565625)/2 = -0,5671875

e^-0,567185 - 0,567118 = 0,56800 - 0,5671875 = 0,0008125

х =( - 0,5671875 - 0,565625)/2 = -0,56640625

Для условия останова из протокола имеем достаточную точность, так как

0,5671875 - 0,565625 = 0.0015625 < 2*0.001

Отже, корінь х = - 0,56640625 (для заданої точності)

Вар 2

e^-x - ln(x) = 0 це все одно, що e^-x = ln(x)

Спочатку відокремимо корені, Для цього побудуємо графіки у1= e^-x і у2= ln(x)

Х	1,25	1,26	1,27	1,28	1,29	1,30	1,31	1,32	1,33	1,34	1,35
e-x	0,2865	0,2837	0,2808	0,2780	0,2753	0,2725	0,2698	0,2671	0,2645	0,2618	0,2592
ln(x)	0,2231	0,2311	0,2390	0,2469	0,2546	0,2624	0,2700	0,2776	0,2852	0,2927	0,2001

Зауважимо, що на графіку (або з таблиці значень) видно, що корінь знаходиться десь між 1,25 та 1,35, Отже, на цьому проміжку ми і застосуємо метод поділу відрізку пополам,

Х	1,25	1,26	1,27	1,28	1,29	1,30	1,31	1,32	1,33	1,34	1,35
e-x	0,2865	0,2837	0,2808	0,2780	0,2753	0,2725	0,2698	0,2671	0,2645	0,2618	0,2592
ln(x)	0,2231	0,2311	0,2390	0,2469	0,2546	0,2624	0,2700	0,2776	0,2852	0,2927	0,3001

e^-1,25 - ln(1,25) = 0,2865 - 0,2231 = 0,0634 > 0

e^-1,35 - ln(1,35) = 0,2592 - 0,3001 = -0,0409 < 0

Візьмемо с =( 1,25 +1,35)/2 = 1,3

e^-1,3 - ln(1,3) = 0,2725 - 0,2624 = 0,0101 > 0

Так як -0,0409 * 0,0101 < 0, то корінь шукаємо вже між 1,3 та 1,35

(1,3+1,35)/2 = 1,325

e^-1,325 - ln(1,325) = 0,2658 - 0,2814= -0,0156 < 0; |-0,0156| > 0,01

Так як -0,0156 * 0,0101 < 0, то корінь шукаємо вже між 1,3 та 1,325

(1,3+1,325)/2 = 1,3125

e^-1,3125 - ln(1,3125) = 0,2691 - 0,2719 = -0,0028 < 0; |-0,0028| < 0,01

корінь шукаємо вже між 1,3 та 1,3125

(1,3+1,3125)/2 = 1,30625

e^-1,30625 - ln(1,30625) =0.00367 > 0

корінь шукаємо вже між 1,30625 та 1,3125

(1,30625+1,3125)/2 = 1,309375

e^-1,309375 - ln(1,309375) =0.0004 > 0

корінь шукаємо вже між 1,309375 та 1,3125

(1,309375+1,3125)/2 = 1.31093775

Для условия останова из протокола имеем достаточную точность, так как

1,309375-1.31093775 = 0.0015 < 0.002

(1,309375+1.31093775)/2 = 1.310156375

e^-1,31093775 - ln(1,3109375) =-0.0004 > 0

Отже, корінь х = 1.310156375 (для заданої точності)

Вар3

Sin(x)-1/x = 0 це все одно, що Sin(x) = 1/x

Спочатку відокремимо корені, Для цього ми побудуємо графіки у1= Sin(x) і у2=1/x

Х	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1	1,1	1,2	1,3	1,4
Sin(x)	0,39	0,57	0,64	0,72	0,78	0,84	0,89	0,93	0,96	0,98
1/x	2	1,667	1,43	1,25	1,11	1	0,9	0,83	0,77	0,714

Зауважимо, що на графіку (або з таблиці значень) видно, що корінь знаходиться десь між 1,1 та 1,2

Отже, на цьому проміжку ми і застосуємо метод поділу відрізку пополам,

Sin(1,1)-1/1,1 = -0,01

Sin(1,2)-1/1,2 = 0,1

Візьмемо с =( 1,1 +1,2)/2 = 1,15

Sin(1,15)-1/1,15 = 0,913 - 0,87 = 0,043 >0,01

Так як -0,01 * 0,043 < 0, то корінь шукаємо вже між 1,1 та 1,15

(1,1+1,15)/2 = 1,125

Sin(1,125)-1/1,125 = 0,902 - 0,889 = 0,013 > 0,01

Так як -0,01 * 0,013 < 0, то корінь шукаємо вже між 1,1 та 1,125

(1,1+1,125)/2 = 1,1125

Sin(1,1125)-1/1,1125 = 0,897 - 0,899 = -0,002, |-0,002| <0,01

корінь шукаємо вже між 1,125 та 1,1125

(1,125+1,1125)/2 = 1,11875

Sin(1,11875)-1/1,11875 = 0.900 -0.8939 > 0

(1,1125 +1,11875)/2 = 1.115625

Sin(1,115625)-1/1,115625= 0.898 -0.896359 = 0.0016 < 2*0.001

Отже, корінь х = 1,115625 (для заданої точності)

Вар4

Cos(x)-1/(x+2) = 0 це все одно, що Cos (x) = 1/(x+2)

Спочатку відокремимо корені, Для цього ми побудуємо графіки у1= Cos (x) і у2=1/(x+2)

Х	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
Cos (x)	1	0,878	0,540	0,071	-0,416	-0,801	-0,99
1/(x+2)	0,5	0,4	0,333	0,286	0,25	0,222	0,2

Зауважимо, що на графіку (або з таблиці значень) видно, що корінь знаходиться десь між 1 та 1,4

Х	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
Cos (x)	1	0,878	0,540	0,071	-0,416	-0,801	-0,99
1/(x+2)	0,5	0,4	0,333	0,286	0,25	0,222	0,2

Отже, на цьому проміжку ми і застосуємо метод поділу відрізку пополам,

Cos(1) - 1/(1+2) = 0,54 - 0,333 > 0

Cos(1,4) - 1/(1,4+2) = 0,17 - 0,294 < 0

Візьмемо с =( 1 +1,4)/2 = 1,2

Cos(1,2) - 1/(1,2+2) = 0,362 - 0,313 = 0,05 > 0

Так як значення > 0, то корінь шукаємо вже між 1,2 та 1,4

(1,2+1,4)/2 = 1,3

Cos(1,3) - 1/(1,3+2) = 0,267 - 0,303 = -0,036 < 0

Так як значення < 0, то корінь шукаємо вже між 1,2 та 1,3

(1,2+1,3)/2 = 1,25

Cos(1,25) - 1/(1,25+2) = 0,315 - 0,308 = 0,007 <0,01

(1.3+1.25)/2 = 1.275

Cos(1,275) - 1/(1,275+2) =0.292 -0.305 < 0

(1.25+1.275)/2 = 1.2625

Cos(1,2625) - 1/(1,2625+2) =0.303 -0.306 < 0

(1.25-1.2625) =0.0125

(1.25+1.2625)/2 = 1.25625

Cos(1,25625) - 1/(1,25625+2) = 0.309 -0.307 > 0

(1.2625+1.25625)/2 = 1.259375

Cos(1,259375) - 1/(1,259375+2) = 0.306 -0.3068 < 0

1,25625 - 1,259375 = 0.003125

(1,25625 +1,259375)/2 = 1.2578125

Cos(1,2578125) - 1/(1,2578125+2) = 0.308 -0.3069 > 0

1,259375 - 1,2578125 = 0.0015 < 0.002

(1,259375+ 1,2578125)/2 = 1.25859375

корінь для потрібної точності знайдено х = 1,25

Отже, корінь х = 1,25859375 (для заданої точності)

Вар7

x³ + x² - 3 = 0

Спочатку відокремимо корені, Відмітимо, що дана кубічна функція приймає від’ємне значення в нулі і додатнє значення в точці x=2, Функція монотонно зростає на проміжку [0;2] (насправді вона зростає на всій дійсній осі, але нас цікавить маленький проміжок)

Отже, на цьому проміжку ми і застосуємо метод поділу відрізку пополам,

0³ + 0² - 3 = -3 < 0

2³ + 2² - 3 = 8 + 4 -3 = 9 > 0

Візьмемо с =( 0 +2)/2 = 1

1³ + 1² - 3 = -1 < 0

Так як значення < 0, то корінь шукаємо вже між 1 та 2

(1+2)/2 = 1,5

1,5³ + 1,5² - 3 = 3,375 + 2,25 - 3 = 2,625 > 0

Так як значення > 0, то корінь шукаємо вже між 1 та 1,5

(1+1,5)/2 = 1,25

1,25³ + 1,25² - 3 = 3,375 + 2,25 - 3 = 0,516 > 0

Так як значення > 0, то корінь шукаємо вже між 1 та 1,25

(1+1,25)/2 = 1,125

1,125³ + 1,125² - 3 = -0,311 < 0

Так як значення < 0, то корінь шукаємо вже між 1,125 та 1,25

(1,125+1,25)/2 = 1,1875

1,1875³ + 1,1875² - 3 = 0,085 > 0

Так як значення > 0, то корінь шукаємо вже між 1,125 та 1,1875

(1,125+1,1875)/2 = 1,15625

1,15625³ + 1,15625² - 3 = -0,117 < 0

Так як значення < 0, то корінь шукаємо вже між 1,1875 та 1,15625

(1,1875 +1,15625)/2 = 1,171875

1,171875³ + 1, 171875²- 3 = -0,017 < 0

Так як значення < 0, то корінь шукаємо вже між 1,1875 та 1,171875

(1,1875 +1,171875)/2 = 1,1796875

1,1796875³ + 1, 1796875²- 3 = 0,033 > 0

Так як значення > 0, то корінь шукаємо вже між 1, 171875та 1, 1796875

(1,1796875+1,171875)/2 = 1,17578125

1, 17578125³ + 1,17578125²- 3 = 0,008 < 0,01

(1,171875 +1, 17578125)/2 = 1.173828125

1,173828125³+ 1,173828125²- 3 < 0

|1,173828125 - 1,17578125 | = 0.0019 <0.002

(1,173828125 +1,17578125)/2 = 1.1748046875

корінь для потрібної точності знайдено

х = 1.1748046875

Отже, корінь х = 1.1748046875 (для заданої точності)