Завдання 4

Розв’язати систему лінійних рівнянь AX B =

а) методом простих ітерацій,

b) методом Зейделя,

Ітераційними методами розв’язок завдання знайти з точністю

ε = 10^-3 = 0,001

а) Метод простої ітерації,

При необхідності проводимо над матрицею еквівалентні перетворення, щоб на виході отримати таку систему, щоб кожен діагональний елемент був по модулю більший за суму модулів інших елементів на відповідному рядку,

Маємо СЛАР A x =b (1)

припускаючи, що a_ii ≠ 0 розв'яжемо нове рівняння системи (1) відносно x₁, друге – відносно x₂,…, n-ое рівняння – відносно x_n, В результаті отримаємо:

x₁=β₁ - α₁₂x₂ - α₁₃x₃ - ,,, - α_1nx_n

x₂=β₂ - α₂₁x₁ - α₂₃x₃ - ,,, - α_2nx_n

x_n=β_n - α_n1x_n - α_n3x₃ - ,,, - α_nn-1x_n-1

де β_i=b_i/a_ii; α_ij=a_ij/a_ii при i ≠ j; α_ii=0

Система (2) в матричній формі має вигляд:

x=β - αx

Нехай x⁰=β, тоді:

x¹=b - a x⁰

x²=b - a x¹

,,,,

x^k+1=b - a x^k

b) метод Зейделя,

Метод Зейделя представляє собою модифікацію метода простої ітерації,

Маємо СЛАР

A x =b (1)

Нехай a_ii ≠ 0, Розв’яжемо нове рівняння системи (1) відносно x₁, друге – відносно x₂,…, n-ое рівняння – відносно x_n, В результаті отримаємо:

x₁=β₁ - α₁₂x₂ - α₁₃x₃ - ,,, - α_1nx_n

x₂=β₂ - α₂₁x₁ - α₂₃x₃ - ,,, - α_2nx_n

x_n=β_n - α_n1x_n - α_n3x₃ - ,,, - α_nn-1x_n-1

де β_i=b_i/a_ii; α_ij=a_ij/a_ii при i ≠ j; α_ii=0

Відомо початкове наближення: x⁰=(x⁰₁, x⁰₂, ,,,, x⁰_n),

Основна ідея заключається в тому, що при обчисленні (k+1)-го наближення невідомої x_i враховується вже обчислені раніше (k+1) - наближення невідомих x₁, x₂, ,,,, x_n,

Ітераційна схема має вид:

x^k+1₁=β₁ - ∑α_1jx^k_j

x^k+1₂=β₂ - α₂₁x^k+1₁ - ∑α_2jx^k_j

x^k+1_i=β_i - ∑α_ijx^k+1₁ - ∑α_2jx^k_j

При необхідності проводимо над матрицею еквівалентні перетворення, щоб на виході отримати таку систему, щоб кожен діагональний елемент був по модулю більший за суму модулів інших елементів на відповідному рядку,

Вар 1

3 12 -1 0 18

-5 2 0 32 -15

2 0 16 -3 0

12 3 0 0 21

Щоб на діагоналі були елементи більші за модулем, ніж сума модулів інших елементів, достатньо переставити рядки:

12 3 0 0 21

3 12 -1 0 18

2 0 16 -3 0

-5 2 0 32 -15

а) методом простих ітерацій

Приведемо до вигляду, виразивши через інші змінні х₁, ,, , х₄:

x₁=1,75+0,25x₂ x₂=1,5+0,25x₁-0,0833x₃ x₃=0+0,13x₁-0,19x₄ x₄=-0,46875-0,16x₁+0,0625x₂ N=1

x₁=1,75 - 0 • 0,25 - 0 • 0 - 0 • 0=1,75

x₂=1,5 - 0 • 0,25 - 0 • (-0,0833) - 0 • 0=1,5

x₃=0 - 0 • 0,125 - 0 • 0 - 0 • (-0,1875)=0

x₄=-0,46875 - 0 • (-0,15625) - 0 • 0,0625 - 0 • 0=-0,46875

N=2

x₁=1,75 - 1,5 • 0,25 - 0 • 0 - (-0,46875) • 0=1,375

x₂=1,5 - 1,75 • 0,25 - 0 • (-0,0833) - (-0,46875) • 0=1,0625

x₃=0 - 1,75 • 0,125 - 1,5 • 0 - (-0,46875) • (-0,1875)=-0,30664

x₄=-0,46875 - 1,75 • (-0,15625) - 1,5 • 0,0625 - 0 • 0=-0,28906

N=3

x₁=1,75 - 1,0625 • 0,25 - (-0,30664) • 0 - (-0,28906) • 0=1,48438

x₂=1,5 - 1,375 • 0,25 - (-0,30664) • (-0,0833) - (-0,28906) • 0=1,1307

x₃=0 - 1,375 • 0,125 - 1,0625 • 0 - (-0,28906) • (-0,1875)=-0,22607

x₄=-0,46875 - 1,375 • (-0,15625) - 1,0625 • 0,0625 - (-0,30664) • 0=-0,32031

Усі розрахунки зведемо в таблицю,

N	x1	x2	x3	x4	e1	e2	e3	e4
0	0	0	0	0
1	1,75	1,5	0	-0,469	1,75	1,5	0	0,469
2	1,375	1,063	-0,307	-0,289	-0,375	-0,438	0,307	-0,18
3	1,484	1,131	-0,226	-0,32	0,109	0,0682	-0,0806	0,0313
4	1,467	1,11	-0,246	-0,307	-0,017	-0,0206	0,0195	-0,0128
5	1,472	1,113	-0,241	-0,309	0,00516	0,00263	-0,00454	0,00137
6	1,472	1,112	-0,242	-0,308	-0,000659	-0,000911	0,000902	-0,000641

Так як на 6й ітерації e₁, ,, , e₄ менші за 0,001, то маємо розв’язки:

x₁ = 1,472

x₂ = 1,112

x₃ = -0,242

x₄ = -0,308

b) методом Зейделя

Приведемо до вигляду, виразивши через інші змінні х₁, ,, , х₄:

x₁=1,75+0,25x₂

x₂=1,5+0,25x₁-0,0833x₃

x₃=0+0,13x₁-0,19x₄

x₄=-0,46875-0,16x₁+0,0625x₂

N=1

x₁=1,75 - 0 • 0,25 - 0 • 0 - 0 • 0=1,75

x₂=1,5 - 1,75 • 0,25 - 0 • (-0,0833) - 0 • 0=1,0625

x₃=0 - 1,75 • 0,125 - 1,0625 • 0 - 0 • (-0,1875)=-0,21875

x₄=-0,46875 - 1,75 • (-0,15625) - 1,0625 • 0,0625 - (-0,21875) • 0=-0,26172

N=2

x₁=1,75 - 1,0625 • 0,25 - (-0,21875) • 0 - (-0,26172) • 0=1,48438

x₂=1,5 - 1,48438 • 0,25 - (-0,21875) • (-0,0833) - (-0,26172) • 0=1,11068

x₃=0 - 1,48438 • 0,125 - 1,11068 • 0 - (-0,26172) • (-0,1875)=-0,23462

x₄=-0,46875 - 1,48438 • (-0,15625) - 1,11068 • 0,0625 - (-0,23462) • 0=-0,30623

N=3

x₁=1,75 - 1,11068 • 0,25 - (-0,23462) • 0 - (-0,30623) • 0=1,47233

x₂=1,5 - 1,47233 • 0,25 - (-0,23462) • (-0,0833) - (-0,30623) • 0=1,11237

x₃=0 - 1,47233 • 0,125 - 1,11237 • 0 - (-0,30623) • (-0,1875)=-0,24146

x₄=-0,46875 - 1,47233 • (-0,15625) - 1,11237 • 0,0625 - (-0,24146) • 0=-0,30822

Усі розрахунки зведемо в таблицю,

N	x1	x2	x3	x4	e1	e2	e3	e4
0	0	0	0	0
1	1,75	1,063	-0,219	-0,262	1,75	1,063	0,219	0,262
2	1,484	1,111	-0,235	-0,306	-0,266	0,0482	0,0159	0,0445
3	1,472	1,112	-0,241	-0,308	-0,012	0,00169	0,00684	0,00199
4	1,472	1,112	-0,242	-0,308	-0,000422	-0,000465	0,00032	3,7E-5

Так як на 4й ітерації e₁, ,, , e₄ менші за 0,001, то маємо розв’язки:

x₁ = 1,472

x₂ = 1,112

x₃ = -0,242

x₄ = -0,308

Вар 2

4 20 1 0 24

16 2 0 -2 -13

-4 0 4 32 0

2 0 10 0 7

Щоб на діагоналі були елементи більші за модулем, ніж сума модулів інших елементів, достатньо переставити рядки:

16 2 0 -2 -13

4 20 1 0 24

2 0 10 0 7

-4 0 4 32 0

а) методом простих ітерацій

Приведемо до вигляду, виразивши через інші змінні х₁, ,, , х₄:

x₁=-0,8125+0,13x₂-0,13x₄

x₂=1,2+0,2x₁+0,05x₃

x₃=0,7+0,2x₁

x₄=0-0,13x₁+0,13x₃

N=1

x₁=-0,8125 - 0 • 0,125 - 0 • 0 - 0 • (-0,125)=-0,8125

x₂=1,2 - 0 • 0,2 - 0 • 0,05 - 0 • 0=1,2

x₃=0,7 - 0 • 0,2 - 0 • 0 - 0 • 0=0,7

x₄=0 - 0 • (-0,125) - 0 • 0 - 0 • 0,125=0

N=2

x₁=-0,8125 - 1,2 • 0,125 - 0,7 • 0 - 0 • (-0,125)=-0,9625

x₂=1,2 - (-0,8125) • 0,2 - 0,7 • 0,05 - 0 • 0=1,3275

x₃=0,7 - (-0,8125) • 0,2 - 1,2 • 0 - 0 • 0=0,8625

x₄=0 - (-0,8125) • (-0,125) - 1,2 • 0 - 0,7 • 0,125=-0,18906

N=3

x₁=-0,8125 - 1,3275 • 0,125 - 0,8625 • 0 - (-0,18906) • (-0,125)=-1,00207

x₂=1,2 - (-0,9625) • 0,2 - 0,8625 • 0,05 - (-0,18906) • 0=1,34938

x₃=0,7 - (-0,9625) • 0,2 - 1,3275 • 0 - (-0,18906) • 0=0,8925

x₄=0 - (-0,9625) • (-0,125) - 1,3275 • 0 - 0,8625 • 0,125=-0,22813

Усі розрахунки зведемо в таблицю

N	x1	x2	x3	x4	e1	e2	e3	e4
0	0	0	0	0
1	-0,813	1,2	0,7	0	0,813	1,2	0,7	0
2	-0,963	1,328	0,863	-0,189	0,15	0,128	0,163	0,189
3	-1,002	1,349	0,893	-0,228	0,0396	0,0219	0,03	0,0391
4	-1,01	1,356	0,9	-0,237	0,00762	0,00641	0,00791	0,0087
5	-1,012	1,357	0,902	-0,239	0,00189	0,00113	0,00152	0,00194
6	-1,012	1,357	0,902	-0,239	0,000384	0,000302	0,000378	0,000427

Так як на 6й ітерації e₁, ,, , e₄ менші за 0,001, то маємо розв’язки:

x₁ = -1,012

x₂ = 1,357

x₃ = 0,902

x₄ = -0,239

b) методом Зейделя

Приведемо до вигляду:

x₁=-0,8125+0,13x₂-0,13x₄

x₂=1,2+0,2x₁+0,05x₃

x₃=0,7+0,2x₁

x₄=0-0,13x₁+0,13x₃

N=1

x₁=-0,8125 - 0 • 0,125 - 0 • 0 - 0 • (-0,125)=-0,8125

x₂=1,2 - (-0,8125) • 0,2 - 0 • 0,05 - 0 • 0=1,3625

x₃=0,7 - (-0,8125) • 0,2 - 1,3625 • 0 - 0 • 0=0,8625

x₄=0 - (-0,8125) • (-0,125) - 1,3625 • 0 - 0,8625 • 0,125=-0,20938

N=2

x₁=-0,8125 - 1,3625 • 0,125 - 0,8625 • 0 - (-0,20938) • (-0,125)=-1,00898

x₂=1,2 - (-1,00898) • 0,2 - 0,8625 • 0,05 - (-0,20938) • 0=1,35867

x₃=0,7 - (-1,00898) • 0,2 - 1,35867 • 0 - (-0,20938) • 0=0,9018

x₄=0 - (-1,00898) • (-0,125) - 1,35867 • 0 - 0,9018 • 0,125=-0,23885

N=3

x₁=-0,8125 - 1,35867 • 0,125 - 0,9018 • 0 - (-0,23885) • (-0,125)=-1,01219

x₂=1,2 - (-1,01219) • 0,2 - 0,9018 • 0,05 - (-0,23885) • 0=1,35735

x₃=0,7 - (-1,01219) • 0,2 - 1,35735 • 0 - (-0,23885) • 0=0,90244

x₄=0 - (-1,01219) • (-0,125) - 1,35735 • 0 - 0,90244 • 0,125=-0,23933

Усі розрахунки зведемо в таблицю,

N	x1	x2	x3	x4	e1	e2	e3	e4
0	0	0	0	0
1	-0,813	1,363	0,863	-0,209	0,813	1,363	0,863	0,209
2	-1,009	1,359	0,902	-0,239	0,196	-0,00383	0,0393	0,0295
3	-1,012	1,357	0,902	-0,239	0,00321	-0,00132	0,000641	0,000481
4	-1,012	1,357	0,902	-0,239	-0,000105	-5,3E-5	-2,1E-5	-1,6E-5

Так як на 4й ітерації e₁, ,, , e₄ менші за 0,001, то маємо розв’язки:

x₁ = -1,012

x₂ = 1,357

x₃ = 0,902

x₄ = -0,239

Вар3

2 16 -3 0 9

-8 5 0 40 98

25 0 -2 3 5

0 -3 20 0 -7

Щоб на діагоналі були елементи більші за модулем, ніж сума модулів інших елементів, достатньо переставити рядки:

25 0 -2 3 5

2 16 -3 0 9

0 -3 20 0 -7

-8 5 0 40 98

Приведемо до вигляду, виразивши через інші змінні х₁, ,, , х₄:

x₁=0,2-0,08x₃+0,12x₄

x₂=0,563+0,13x₁-0,19x₃

x₃=-0,35-0,15x₂

x₄=2,45-0,2x₁+0,13x₂

Перша ітерація: (N – номер відповідної ітерації)

N=1

x₁=0,2 - 0 • 0 - 0 • (-0,08) - 0 • 0,12=0,2

x₂=0,5625 - 0 • 0,125 - 0 • (-0,1875) - 0 • 0=0,5625

x₃=-0,35 - 0 • 0 - 0 • (-0,15) - 0 • 0=-0,35

x₄=2,45 - 0 • (-0,2) - 0 • 0,125 - 0 • 0=2,45

N=2

x₁=0,2 - 0,5625 • 0 - (-0,35) • (-0,08) - 2,45 • 0,12=-0,122

x₂=0,5625 - 0,2 • 0,125 - (-0,35) • (-0,1875) - 2,45 • 0=0,47188

x₃=-0,35 - 0,2 • 0 - 0,5625 • (-0,15) - 2,45 • 0=-0,26563

x₄=2,45 - 0,2 • (-0,2) - 0,5625 • 0,125 - (-0,35) • 0=2,41969

N=3

x₁=0,2 - 0,47188 • 0 - (-0,26563) • (-0,08) - 2,41969 • 0,12=-0,11161

x₂=0,5625 - (-0,122) • 0,125 - (-0,26563) • (-0,1875) - 2,41969 • 0=0,52795

x₃=-0,35 - (-0,122) • 0 - 0,47188 • (-0,15) - 2,41969 • 0=-0,27922

x₄=2,45 - (-0,122) • (-0,2) - 0,47188 • 0,125 - (-0,26563) • 0=2,36662

Усі розрахунки зведемо в таблицю,

N	x1	x2	x3	x4	e1	e2	e3	e4
0	0	0	0	0
1	0,2	0,563	-0,35	2,45	0,2	0,563	0,35	2,45
2	-0,122	0,472	-0,266	2,42	-0,078	-0,0906	-0,0844	-0,0303
3	-0,112	0,528	-0,279	2,367	-0,0104	0,0561	0,0136	-0,0531
4	-0,106	0,524	-0,271	2,362	-0,00528	-0,00385	-0,00841	-0,00493
5	-0,105	0,525	-0,271	2,363	-0,00126	0,000917	0,000577	0,00154
6	-0,105	0,525	-0,271	2,363	0,000231	-0,000266	-0,000138	0,000138

Так як на 6й ітерації e₁, ,, , e₄ менші за 0,001, то маємо розв’язки:

x₁ = -0,105

x₂ = 0,525

x₃ = -0,271

x₄ = 2,363

b) методом Зейделя

2 16 -3 0 9

-8 5 0 40 98

25 0 -2 3 5

0 -3 20 0 -7

Щоб на діагоналі були елементи більші за модулем, ніж сума модулів інших елементів, достатньо переставити рядки:

25 0 -2 3 5

2 16 -3 0 9

0 -3 20 0 -7

-8 5 0 40 98

Приведемо до вигляду, виразивши через інші змінні х₁, ,, , х₄:

x^k+1₁=β₁ - ∑α_1jx^k_j

x^k+1₂=β₂ - α₂₁x^k+1₁ - ∑α_2jx^k_j

x^k+1_i=β_i - ∑α_ijx^k+1₁ - ∑α_2jx^k_j

x₁=0,2-0,08x₃+0,12x₄

x₂=0,5625+0,13x₁-0,19x₃

x₃=-0,35-0,15x₂

x₄=2,45-0,2x₁+0,13x₂

N=1

x₁=0,2 - 0 • 0 - 0 • (-0,08) - 0 • 0,12=0,2

x₂=0,5625 - 0,2 • 0,125 - 0 • (-0,1875) - 0 • 0=0,5375

x₃=-0,35 - 0,2 • 0 - 0,5375 • (-0,15) - 0 • 0=-0,26938

x₄=2,45 - 0,2 • (-0,2) - 0,5375 • 0,125 - (-0,26938) • 0=2,42281

N=2

x₁=0,2 - 0,5375 • 0 - (-0,26938) • (-0,08) - 2,42281 • 0,12=-0,11229

x₂=0,5625 - (-0,11229) • 0,125 - (-0,26938) • (-0,1875) - 2,42281 • 0=0,52603

x₃=-0,35 - (-0,11229) • 0 - 0,52603 • (-0,15) - 2,42281 • 0=-0,2711

x₄=2,45 - (-0,11229) • (-0,2) - 0,52603 • 0,125 - (-0,2711) • 0=2,36179

N=3

x₁=0,2 - 0,52603 • 0 - (-0,2711) • (-0,08) - 2,36179 • 0,12=-0,1051

x₂=0,5625 - (-0,1051) • 0,125 - (-0,2711) • (-0,1875) - 2,36179 • 0=0,52481

x₃=-0,35 - (-0,1051) • 0 - 0,52481 • (-0,15) - 2,36179 • 0=-0,27128

x₄=2,45 - (-0,1051) • (-0,2) - 0,52481 • 0,125 - (-0,27128) • 0=2,36338

Зведемо розрахунки в таблицю:

N	x1	x2	x3	x4	e1	e2	e3	e4
0	0	0	0	0
1	0,2	0,538	-0,269	2,423	0,2	0,538	0,269	2,423
2	-0,112	0,526	-0,271	2,362	-0,0877	-0,0115	0,00172	-0,061
3	-0,105	0,525	-0,271	2,363	-0,00719	-0,00122	0,000183	0,00159
4	-0,105	0,525	-0,271	2,363	0,000205	-9,0E-6	1,0E-6	-4,0E-5

Так як на 6й ітерації e₁, ,, , e₄ менші за 0,001, то маємо розв’язки:

x₁ = -0,105

x₂ = 0,525

x₃ = -0,271

x₄ = 2,363

Вар4

5 -2 32 0 27

4 25 0 -3 34

20 0 2 -7 -28

0 0 -9 40 5

Щоб на діагоналі були елементи більші за модулем, ніж сума модулів інших елементів, достатньо переставити рядки:

20 0 2 -7 -28

4 25 0 -3 34

5 -2 32 0 27

0 0 -9 40 5

Приведемо до вигляду, виразивши через інші змінні х₁, ,, , х₄:

x₁=-1,4+0,1x₃-0,35x₄

x₂=1,36+0,16x₁-0,12x₄

x₃=0,84375+0,16x₁-0,0625x₂

x₄=0,125-0,23x₃

N=1

x₁=-1,4 - 0 • 0 - 0 • 0,1 - 0 • (-0,35)=-1,4

x₂=1,36 - 0 • 0,16 - 0 • 0 - 0 • (-0,12)=1,36

x₃=0,84375 - 0 • 0,15625 - 0 • (-0,0625) - 0 • 0=0,84375

x₄=0,125 - 0 • 0 - 0 • 0 - 0 • (-0,225)=0,125

N=2

x₁=-1,4 - 1,36 • 0 - 0,84375 • 0,1 - 0,125 • (-0,35)=-1,44063

x₂=1,36 - (-1,4) • 0,16 - 0,84375 • 0 - 0,125 • (-0,12)=1,599

x₃=0,84375 - (-1,4) • 0,15625 - 1,36 • (-0,0625) - 0,125 • 0=1,1475

x₄=0,125 - (-1,4) • 0 - 1,36 • 0 - 0,84375 • (-0,225)=0,31484

N=3

x₁=-1,4 - 1,599 • 0 - 1,1475 • 0,1 - 0,31484 • (-0,35)=-1,40455

x₂=1,36 - (-1,44063) • 0,16 - 1,1475 • 0 - 0,31484 • (-0,12)=1,62828

x₃=0,84375 - (-1,44063) • 0,15625 - 1,599 • (-0,0625) - 0,31484 • 0=1,16879

x₄=0,125 - (-1,44063) • 0 - 1,599 • 0 - 1,1475 • (-0,225)=0,38319

Усі розрахунки зведемо в таблицю

N	x1	x2	x3	x4	e1	e2	e3	e4
0	0	0	0	0
1	-1,4	1,36	0,844	0,125	1,4	1,36	0,844	0,125
2	-1,441	1,599	1,148	0,315	0,0406	0,239	0,304	0,19
3	-1,405	1,628	1,169	0,383	-0,0361	0,0293	0,0213	0,0683
4	-1,383	1,631	1,165	0,388	-0,0218	0,00243	-0,00381	0,00479
5	-1,381	1,628	1,162	0,387	-0,00206	-0,00291	-0,00325	-0,000856
6	-1,381	1,627	1,161	0,386	-2,6E-5	-0,000432	-0,000503	-0,000732

Так як на 6й ітерації e₁, ,, , e₄ менші за 0,001, то маємо розв’язки:

x₁ = -1,381

x₂ = 1,627

x₃ = 1,161

x₄ = 0,386

b) методом Зейделя

5 -2 32 0 27

4 25 0 -3 34

20 0 2 -7 -28

0 0 -9 40 5

Щоб на діагоналі були елементи більші за модулем, ніж сума модулів інших елементів, достатньо переставити рядки:

20 0 2 -7 -28

4 25 0 -3 34

5 -2 32 0 27

0 0 -9 40 5

Приведемо до вигляду, виразивши через інші змінні х₁, ,, , х₄:

x₁=-1,4+0,1x₃-0,35x₄

x₂=1,36+0,16x₁-0,12x₄

x₃=0,84375+0,16x₁-0,0625x₂

x₄=0,125-0,23x₃

N=1

x₁=-1,4 - 0 • 0 - 0 • 0,1 - 0 • (-0,35)=-1,4

x₂=1,36 - (-1,4) • 0,16 - 0 • 0 - 0 • (-0,12)=1,584

x₃=0,84375 - (-1,4) • 0,15625 - 1,584 • (-0,0625) - 0 • 0=1,1615

x₄=0,125 - (-1,4) • 0 - 1,584 • 0 - 1,1615 • (-0,225)=0,38634

N=2

x₁=-1,4 - 1,584 • 0 - 1,1615 • 0,1 - 0,38634 • (-0,35)=-1,38093

x₂=1,36 - (-1,38093) • 0,16 - 1,1615 • 0 - 0,38634 • (-0,12)=1,62731

x₃=0,84375 - (-1,38093) • 0,15625 - 1,62731 • (-0,0625) - 0,38634 • 0=1,16123

x₄=0,125 - (-1,38093) • 0 - 1,62731 • 0 - 1,16123 • (-0,225)=0,38628

N=3

x₁=-1,4 - 1,62731 • 0 - 1,16123 • 0,1 - 0,38628 • (-0,35)=-1,38093

x₂=1,36 - (-1,38093) • 0,16 - 1,16123 • 0 - 0,38628 • (-0,12)=1,6273

x₃=0,84375 - (-1,38093) • 0,15625 - 1,6273 • (-0,0625) - 0,38628 • 0=1,16123

x₄=0,125 - (-1,38093) • 0 - 1,6273 • 0 - 1,16123 • (-0,225)=0,38628

Усі розрахунки зведемо в таблицю

N	x1	x2	x3	x4	e1	e2	e3	e4
0	0	0	0	0
1	-1,4	1,584	1,162	0,386	1,4	1,584	1,162	0,386
2	-1,381	1,627	1,161	0,386	-0,0191	0,0433	-0,000273	-6,1E-5
3	-1,381	1,627	1,161	0,386	-6,0E-6	-8,0E-6	-1,0E-6	-0

Так як на 3й ітерації e₁, ,, , e₄ менші за 0,001, то маємо розв’язки:

x₁ = -1,381

x₂ = 1,627

x₃ = 1,161

x₄ = 0,386

Вар7

-9 4 64 0 24

10 50 0 -4 -5

0 -14 7 80 14

40 9 0 0 29

Щоб на діагоналі були елементи більші за модулем, ніж сума модулів інших елементів, достатньо переставити рядки:

40 9 0 0 29

10 50 0 -4 -5

-9 4 64 0 24

0 -14 7 80 14

Приведемо до вигляду, виразивши через інші змінні х₁, ,, , х₄:

x₁=0,725+0,23x₂

x₂=-0,1+0,2x₁-0,08x₄

x₃=0,375-0,14x₁+0,0625x₂

x₄=0,175-0,18x₂+0,0875x₃

N=1

x₁=0,725 - 0 • 0,225 - 0 • 0 - 0 • 0=0,725

x₂=-0,1 - 0 • 0,2 - 0 • 0 - 0 • (-0,08)=-0,1

x₃=0,375 - 0 • (-0,14063) - 0 • 0,0625 - 0 • 0=0,375

x₄=0,175 - 0 • 0 - 0 • (-0,175) - 0 • 0,0875=0,175

N=2

x₁=0,725 - (-0,1) • 0,225 - 0,375 • 0 - 0,175 • 0=0,7475

x₂=-0,1 - 0,725 • 0,2 - 0,375 • 0 - 0,175 • (-0,08)=-0,231

x₃=0,375 - 0,725 • (-0,14063) - (-0,1) • 0,0625 - 0,175 • 0=0,4832

x₄=0,175 - 0,725 • 0 - (-0,1) • (-0,175) - 0,375 • 0,0875=0,12469

N=3

x₁=0,725 - (-0,231) • 0,225 - 0,4832 • 0 - 0,12469 • 0=0,77698

x₂=-0,1 - 0,7475 • 0,2 - 0,4832 • 0 - 0,12469 • (-0,08)=-0,23953

x₃=0,375 - 0,7475 • (-0,14063) - (-0,231) • 0,0625 - 0,12469 • 0=0,49455

x₄=0,175 - 0,7475 • 0 - (-0,231) • (-0,175) - 0,4832 • 0,0875=0,0923

Усі розрахунки зведемо в таблицю

N	x1	x2	x3	x4	e1	e2	e3	e4
0	0	0	0	0
1	0,725	-0,1	0,375	0,175	0,725	0,1	0,375	0,175
2	0,748	-0,231	0,483	0,125	0,0225	0,131	0,108	-0,0503
3	0,777	-0,24	0,495	0,0923	0,0295	0,00853	0,0114	-0,0324
4	0,779	-0,248	0,499	0,0898	0,00192	0,00849	0,00468	-0,00249
5	0,781	-0,249	0,5	0,0879	0,00191	0,000582	0,0008	-0,00189
6	0,781	-0,249	0,5	0,0877	0,000131	0,000533	0,000305	-0,000172

Так як на 6й ітерації e₁, ,, , e₄ менші за 0,001, то маємо розв’язки:

x₁ = 0,781

x₂ = -0,249

x₃ = 0,5

x₄ = 0,0877

b) методом Зейделя

-9 4 64 0 24

10 50 0 -4 -5

0 -14 7 80 14

40 9 0 0 29

Щоб на діагоналі були елементи більші за модулем, ніж сума модулів інших елементів, достатньо переставити рядки:

40 9 0 0 29

10 50 0 -4 -5

-9 4 64 0 24

0 -14 7 80 14

Приведемо до вигляду, виразивши через інші змінні х₁, ,, , х₄:

x₁=0,725+0,23x₂

x₂=-0,1+0,2x₁-0,08x₄

x₃=0,375-0,14x₁+0,0625x₂

x₄=0,175-0,18x₂+0,0875x₃

N=1

x₁=0,725 - 0 • 0,225 - 0 • 0 - 0 • 0=0,725

x₂=-0,1 - 0,725 • 0,2 - 0 • 0 - 0 • (-0,08)=-0,245

x₃=0,375 - 0,725 • (-0,14063) - (-0,245) • 0,0625 - 0 • 0=0,49227

x₄=0,175 - 0,725 • 0 - (-0,245) • (-0,175) - 0,49227 • 0,0875=0,0891

N=2

x₁=0,725 - (-0,245) • 0,225 - 0,49227 • 0 - 0,0891 • 0=0,78013

x₂=-0,1 - 0,78013 • 0,2 - 0,49227 • 0 - 0,0891 • (-0,08)=-0,2489

x₃=0,375 - 0,78013 • (-0,14063) - (-0,2489) • 0,0625 - 0,0891 • 0=0,50026

x₄=0,175 - 0,78013 • 0 - (-0,2489) • (-0,175) - 0,50026 • 0,0875=0,0877

N=3

x₁=0,725 - (-0,2489) • 0,225 - 0,50026 • 0 - 0,0877 • 0=0,781

x₂=-0,1 - 0,781 • 0,2 - 0,50026 • 0 - 0,0877 • (-0,08)=-0,24919

x₃=0,375 - 0,781 • (-0,14063) - (-0,24919) • 0,0625 - 0,0877 • 0=0,5004

x₄=0,175 - 0,781 • 0 - (-0,24919) • (-0,175) - 0,5004 • 0,0875=0,0876

N	x1	x2	x3	x4	e1	e2	e3	e4
0	0	0	0	0
1	0,725	-0,245	0,492	0,0891	0,725	0,245	0,492	0,0891
2	0,78	-0,249	0,5	0,0877	0,0551	0,0039	0,008	-0,00138
3	0,781	-0,249	0,5	0,0876	0,000878	0,000286	0,000141	-6,2E-5

Так як на 6й ітерації e₁, ,, , e₄ менші за 0,001, то маємо розв’язки:

x₁ = 0,781

x₂ = -0,249

x₃ = 0,5

x₄ = 0,0877