Завдання 2

Дано функцію f (a,b,c), Значення змінних зазначені у варіанті з усіма

вірними цифрами, Оцінити похибку результату, використовуючи:

a) оцінки похибок для арифметичних операцій;

б) загальну формулу похибок,

Результат представити у двох формах запису: з явною вказівкою похибок і з урахуванням вірних цифр,

Порядок розв’язання задачі,

1. Визначити абсолютну і відносну похибку величин a, b та c,

2. Провести оцінку похибки величини f, використовуючи формули оцінки похибок арифметичнких операцій,

3. Провести оцінку похибок величини f, використовуючи загальну формулу похибок

,

4. Порівняти отриманні значення похибок між собою,

5. Результат обчислення функціі f(a, b, c) представити в двох формах запису: с явною вказівкою похибок і з урахуванням вірних цифр

2, Обчислити значення Z й оцінити абсолютну й відносну похибки результату,

вважаючи, що значення вихідних даних отримані в результаті округлення, Записати результат з урахуванням похибки

Вар 1

а = 0,0125 b = 0,283 c = 0,0187

a/(a²+bc)

1, а = 0,0125 b = 0,283 c = 0,0187

0,0125 має 3 значущі цифри, тобто 3 вірні цифри, Перша значуща цифра 1, Гранична відносна похибка  = 10 ^–2_/1 = 1%, або 0,01

Гранична абсолютна похибка  = |a|_/(1 – ), тобто, 0,0125*0,01/(1-0,01) = 0,000126

0,283 має 3 значущі цифри, тобто 3 вірні цифри, Перша значуща цифра 2, Гранична відносна похибка  = 10 ^–2_/2 = 0,5%,

Гранична абсолютна похибка  = |a|_/(1 – ), тобто, 0,283*0,005/(1-0,005) = 0,001422 

0,0187 має 3 значущі цифри, тобто 3 вірні цифри, Перша значуща цифра 1, Гранична відносна похибка  = 10 ^–2_/1 = 1%,

Гранична абсолютна похибка  = |a|_/(1 – ), тобто, 0,0187*0,01/(1-0,01) = 0,000189 

 a/(a²+bc)

a² ≈ 0,0125*0,0125± 2*0,0125* 0,000126 = 0,00015625 ± 0,00000315

(a²) ≈ 2аа = 0,00000315

bc =0,283*0,0187 ± (0,283*0,000189 + 0,0187*0,001422) = 0,0052921 ± 0,0000800784

(bc) ≈ bc + cb = 0,0000800784

(a²+bc) = a²+bc = 0,00000315 +0,0000800784 = 0,0000832284

(a/ (a²+bc)) = ((a²+bc)a+ а(a²+bc))/ (a²+bc) ² = ((0,0125*0,0125+0,283*0,0187)* 0,000126 + 0,0125*0,0000832284)/ ((0,0125*0,0125+0,283*0,0187) *(0,0125*0,0125+0,283*0,0187)) =

(0,00544835* 0,000126 + 0,0125*0,0000832284)/(0,00544835*0,00544835) =

0,0581733251

f = (a/ (a²+bc)) =0,0125/(0,0125*0,0125+0,283*0,0187) = 2,294

f = 0,0582

f =0,0582/2,294 = 0,02537

3. ,

a/(a²+bc)

а = 0,0125 b = 0,283 c = 0,0187

f ‘a = (-a²+b*c)/(a²+bc) ²

f ‘b = (-a*c) /(a²+bc) ²

f ‘c = (-a*b/(a²+bc) ²

(a²+bc) = 0,0125*0,0125 +0,283*0,0187 = 0,00544835

(a²+bc) ² = 0,00544835*0,00544835 = 0,0000296845

f ‘a = (-0,0125*0,0125+0,283*0,0187)/0,0000296845 = 173,015

f ‘b = (-0,0125*0,0187)/0,0000296845 = -7,8745

f ‘c = (-0,0125*0,283)/0,0000296845 = -119,17

f ‘a = 173,015

f ‘b = -7,8745

f ‘c = -119,17

f = 2,294

f = 173,015*0,000126+7,8745*0,001422+ 119,17*0,000189 = 0,0555

f =0,0555/2,294 = 0,02419

2,294 ± 0,0555

1*0,5 = 50 < 0,0555< 5 =0,1 *0,5

Вірною цифрою є перша двійка 2,294

2, Обчислити значення Z й оцінити абсолютну й відносну похибки результату,

вважаючи, що значення вихідних даних отримані в результаті округлення, Записати результат з урахуванням похибки

sin (√1,01 + ³√2,02 + ⁴√3,03)= sin(1,005+1,2641+1,3194) = sin (3,5885) = 0,06259

a = 1,01 Δa = 0,005

b = 2,02 Δb = 0,005

c = 3,03 Δc = 0,005

a = 0,005/1,01= 0,000495

b = 0,005/2,02= 0,002475

c = 0,005/3,03= 0,00165

ΔZ = | Z’_a|*Δa+| Z’_b|*Δb+| Z’_c|*Δc

Z = sin (√а + ³√b+ ⁴√c)

z ‘a = cos (√а + ³√b+ ⁴√c)*(1/2) *(a^(-1/2))

z ‘b = cos (√а + ³√b+ ⁴√c)* (1/3) *(b^(-2/3))

z ‘c = cos (√а + ³√b+ ⁴√c)* (1/4) *(c^(-3/4))

z ‘a = cos (3,5885)*(1/2)*(1,01^(-1/2)) = 0,99804*(1/2)*0,99503719 = 0,4965436

z ‘b = cos (3,5885)* (1/3)*(2,02^(-2/3)) =0,99804*(1/3)*0,625795478 = 0,2981896

z ‘c = cos (3,5885)* (1/4)*(3,03^(-3/4)) =0,99804*(1/4)*0,43542968 = 0,108644

ΔZ = 0,005*(0,4965436+ 0,2981896+0,108644) = 0,004516886

δ Z = 0,004516886/0,06259 = 0,072166

округлюючи, маємо:

Z = 0,0626 ± 0,00452

Вар 2

а = 14,29 b = 13,81 c = 10,98

(a-b)/(a²+bc)

1, а = 14,29 b = 13,81 c = 12,19

14,29 має 4 значущі цифри, тобто 4 вірні цифри, Перша значуща цифра 1, Гранична відносна похибка  = 10 ^–3_/1 = 0,1%, або 0,001

Гранична абсолютна похибка  = |a|_/(1 – ), тобто, 14,29*0,001/(1-0,001)=0,0143

13,81 має 4 значущі цифри, тобто 4 вірні цифри, Перша значуща цифра 1, Гранична відносна похибка  = 10 ^–3_/1 = 0,1%,

Гранична абсолютна похибка  = |a|_/(1 – ), тобто, 13,81*0,001/(1-0,001) = 0,0138

10,98 має 4 значущі цифри, тобто 4 вірні цифри, Перша значуща цифра 1, Гранична відносна похибка  = 10 ^–3_/1 = 0,1%,

Гранична абсолютна похибка  = |a|_/(1 – ), тобто, 10,98*0,001/(1-0,001)= 0,01099

(a-b)/(a²+bc)

a² ≈ 14,29*14,29± 2*14,29* 0,0143 = 204,2041 ± 0,408694

(a²) ≈ 2аа = 0,408694

a-b = (14,29- 13,81 ) ± (0,0143+0,0138) = 0,48 ± 0,0281

(a-b) ≈ b +a = 0,0281

bc = 13,81*10,98 ± (0,0138*10,98 +13,81*0,01099) = 151,6338 ± 0,3032959

(bc) ≈ bc + cb = 0,3032959

(a²+bc) = (204,2041+ 151,6338) ± (0,408694 + 0,3032959)= 355,8379 ± 0,7119899

f = (a-b)/(a²+bc) = (14,29-13,81)/( 14,29*14,29+13,81*10,98) = 0,0013489288

f = ((a-b)(a²+bc) + (a-b) (a²+bc))/(a²+bc) ² =

(0,48*0,7119899 + 0,0281*355,8379)/(( 14,29*14,29+13,81*10,98)*( 14,29*14,29+13,81*10,98)) = 0,0000816676

f = 0,0000816676/0,0013489288 = 0,06054

3. ,

а = 14,29 b = 13,81 c = 10,98

(a-b)/(a²+bc)

f ‘a = ( b*c +2*a*b - a*a)/(( a*a+b*c)* (a*a+b*c))

f ‘b = (-a*a-a*c)/(( a*a+b*c)* (a*a+b*c))

f ‘c = (b*b-a*b)/(( a*a+b*c)* (a*a+b*c))

( a*a+b*c)* (a*a+b*c) = (14,29*14,29+13,81*10,98)*(14,29*14,29+13,81*10,98) = 126620,611

b*c +2*a*b - a*a = 13,81*10,98 +2*14,29*13,81 - 14,29*14,29 = 342,1195

-a*a-a*c = -14,29*14,29-14,29*10,98 = -361,1083

b*b-a*b = 13,81*13,81-14,29*13,81 = -6,6288

f ‘a = 342,1195/126620,611 = 0,0027

f ‘b = -361,1083/126620,611 = -0,00285

f ‘c = -6,6288/126620,611 = - 0,0000524

f = 0,0027*0,0143+0,00285*0,0138+0,0000524*0,01099 = 0,0000785

f =0,0000785/0,0013489288= 0,05819

0,001*0,5 = 0,0005 < 0,0000785< 0,00005 =0,0001 *0,5

Вірною цифрою є перша одиниця 0,0013489288

2, Обчислити значення Z й оцінити абсолютну й відносну похибки результату,

вважаючи, що значення вихідних даних отримані в результаті округлення, Записати результат з урахуванням похибки

e^3,14cos (2,12*7,97)= 23,1039*0,956832 = 22,107

a = 3,14 Δa = 0,005

b = 2,12 Δb = 0,005

c = 7,97 Δc = 0,005

a = 0,005/3,14 = 0,001592

b = 0,005/2,12 = 0,0023585

c = 0,005/7,97 = 0,00062735

Z = e^acos (b*c)

ΔZ = | Z’_a|*Δa+| Z’_b|*Δb+| Z’_c|*Δc

z ‘a = e^acos (b*c)

z ‘b = -c*e^asin (b*c)

z ‘c = -b*e^asin(b*c)

z ‘a = 23,1039*0,956832 = 22,106551

z ‘b = -23,1039*0,290642*7,97 = -53,51826

z ‘c = -23,1039*0,290642*2,12 = -14,235723

ΔZ = 0,005*(22,106551+53,51826+14,235723) = 0,4493

δ Z = 0,4493/22,106551= 0,020324

округлюючи, маємо:

Z = 22,107± 0,4493

Вар3

а = 12,28 b = 13,21 c = 12,19

a²/(ab-bc)

1, а = 12,28 b = 13,21 c = 12,19

12,28 має 4 значущі цифри, тобто 4 вірні цифри, Перша значуща цифра 1, Гранична відносна похибка  = 10 ^–3_/1 = 0,1%, або 0,001

Гранична абсолютна похибка  = |a|_/(1 – ), тобто, 12,28*0,001/(1-0,001) = 0,01229 

13,21 має 4 значущі цифри, тобто 4 вірні цифри, Перша значуща цифра 1, Гранична відносна похибка  = 10 ^–3_/1 = 0,1%,

Гранична абсолютна похибка  = |a|_/(1 – ), тобто, 13,21*0,001/(1-0,001) = 0,01322 

12,19 має 4 значущі цифри, тобто 4 вірні цифри, Перша значуща цифра 1, Гранична відносна похибка  = 10 ^–3_/1 = 0,1%,

Гранична абсолютна похибка  = |a|_/(1 – ), тобто, 12,19*0,001/(1-0,001) = 0,01220 

a²/(ab-bc)

a² = (12,28 ± 0,0122922923)*(12,28 ± 0,0122922923) ≈ 12,28*12,28 ± 2*12,28* 0,0122922923 ± 0,0122922923*0,0122922923 ≈ 12,28*12,28 ± 2*12,28* 0,0122922923 = 150,8 ± 0,302

(a²) ≈ 2аа =2*12,28* 0,0122922923 = 0,302

ab = (12,28 ± 0,0122922923)*(13,21 ± 0,0132232232) ≈ 12,28*13,21 ± 12,28* 0,0132232232 ± 13,21*0,0122922923 ± 0,0122922923*0,0132232232 ≈ 12,28*13,21 ± 12,28* 0,0132232232 ± 13,21*0,0122922923 = 162,2188 ± 0,1623811809 ± 0,1623811813 = 162,2± 0,325

(ab) ≈ аb +ba =12,28* 0,0132232232 + 13,21*0,0122922923 = 0,325

bc = (12,19 ± 0,0122022022)*(13,21 ± 0,0132232232) ≈ 12,19*13,21 ± 12,19* 0,0132232232 ± 13,21*0,0122022022 ± 0,0122022022*0,0132232232 ≈ 12,19*13,21 ± 12,19 * 0,0132232232 ± 13,21*0,0122022022= 161,0299 ± 0,1611910908 ± 0,1611910911 = 161,03 ± 0,322

(bc) ≈ bc + cb =12,19*0,0132232232 + 13,21*0,0122022022= 0,322

(ab-bc) = (162,2188 ± 0,3247623622) - (161,0299 ± 0,3223821819) = (162,2188 - 161,0299 ) ± (0,3247623622+ 0,3223821819) = 1,19± 0,647

(a²/(ab-bc)) = ((ab-bc)*2*a*а + a²(ab-bc))/(ab-bc) ² = ((ab-bc)*2*a*а + a²(b*(a-c)))/(ab-bc) ²

=

((a*b-b*c)*2*a*а + a*a*b*(a-c) + a*a*b*(a+c) )/((ab-bc)*( ab-bc)) =

((12,28*13,21-13,21*12,19)*2*12,28*0,0122922923+ 12,28*12,28*0,0132232232*(12,28-12,19) + 12,28*12,28*13,21*(0,0122922923+0,0122022022) )/(( 12,28*13,21-13,21*12,19)*( 12,28*13,21-13,21*12,19)) = 34,9014

f = a²/(ab-bc) = 12,28*12,28/(12,28*13,21-13,21*12,19) = 126,85

f = 34,9014

f =34,9014/126,84 = 0,275

а = 12,28 b = 13,21 c = 12,19

3. ,

f ‘a = (2*a/(a*b-b*c) - b*a*a/((ab-bc)* (a*b-b*c)) )

f ‘b = (-a*a*(a-c) /((a*b-b*c)* (a*b-b*c)))

f ‘c = (a*a*b/((a*b-b*c)* (a*b-b*c)))

f ‘a = -1388,66

f ‘b = -9,60

f ‘c = 1409,32

f = a*|(2*a/(a*b-b*c) - b*a*a/((ab-bc)* (a*b-b*c)) )| + b*|(-a*a*(a-c) /((a*b-b*c)* (a*b-b*c)))| + c*(a*a*b/((a*b-b*c)* (a*b-b*c)))

=

0,0122922923*| (2*12,28/(12,28*13,21-13,21*12,19) - 13,21*12,28*12,28/((12,28*13,21-13,21*12,19)* (12,28*13,21-13,21*12,19)) ) | + 0,0132232232*| (-12,28*12,28*(12,28-12,19) /((12,28*13,21-13,21*12,19)* (12,28*13,21-13,21*12,19))) |+ 0,0122022022*| (12,28*12,28*13,21/((12,28*13,21-13,21*12,19)* (12,28*13,21-13,21*12,19))) |

=

0,0122922923*| -1388,6599190661 | + 0,0132232232*| -9,6017100904 |+ 0,0122022022*| 1409,3176699283 |

=

0,01229*1388,66 + 0,01322*9,60 + 0,01220*1409,32

= 34,38

f = 34,38

f =34,38/126,84 = 0,271

12,28*12,28/(12,28*13,21-13,21*12,19)=126,84

126,84± 34,38

100*0,5 = 50 < 34,4 < 5 =10 *0,5

Вірною цифрою є перша одиниця 126,84

2, Обчислити значення Z й оцінити абсолютну й відносну похибки результату,

вважаючи, що значення вихідних даних отримані в результаті округлення, Записати результат з урахуванням похибки

ln (10,28 - √(8,31²+5,25²))= -0,797344107

a = 10,28 Δa = 0,005

b = 8,31 Δb = 0,005

c = 5,25 Δc = 0,005

a = 0,005/10,28 = 0,00049

b = 0,005/8,31 = 0,0006

c = 0,005/5,25 = 0,00095

ΔZ = | Z’_a|*Δa+| Z’_b|*Δb+| Z’_c|*Δc

z ‘a = 1/(a-(b*b+c*c)^(1/2))

z ‘b = (-b/(b*b+c*c)^(1/2))/(a-(b*b+c*c)^(1/2))

z ‘c = (-c/(b*b+c*c)^(1/2))/(a-(b*b+c*c)^(1/2))

z ‘a = 1/(10,28-(8,31*8,31+5,25*5,25) ^(1/2)) =1/(10,28-(96,6186) ^(1/2)) =1/(10,28-9,83) = 2,22

z ‘b = (-8,31/9,83)/(10,28-(8,31*8,31+5,25*5,25) ^(1/2)) =(-8,31/9,83)/(10,28-(96,6186) ^(1/2)) =(-8,31/9,83)/(10,28-9,83) = -1,88

z‘c = (-5,25/9,83)/(10,28-(8,31*8,31+5,25*5,25) ^(1/2)) =(-5,25/9,83)/(10,28-(96,6186) ^(1/2)) = (-5,25/9,83)/(10,28-9,83) = -1,19

a = 10,28 b = 8,31 c = 5,25

ΔZ = 0,005*(2,22+1,88+1,19) = 0,02645

δ Z = 0,02645/0,797 = 0,0332

округлюючи, маємо:

Z = -0,8 ± 0,02645

Вар4

а = 0,328 b = 0,781 c = 0,0129

(a+b)/(a²+bc)

1, а = 0,328 b = 0,781 c = 0,0129

0,328 має 3 значущі цифри, тобто 3 вірні цифри, Перша значуща цифра 3, Гранична відносна похибка  = 10 ^–2_/3 = 0,333%, або 0,00333

Гранична абсолютна похибка  = |a|_/(1 – ), тобто, 0,328*0,00333/(1-0,00333) = 0,0010958893 

0,781 має 3 значущі цифри, тобто 3 вірні цифри, Перша значуща цифра 7, Гранична відносна похибка  = 10 ^–2_/7 = 0,14285714%,

Гранична абсолютна похибка  = |a|_/(1 – ), тобто, 0,781*0,0014285714/(1-0,0014285714) = 0,0011173104 

0,0129 має 3 значущі цифри, тобто 3 вірні цифри, Перша значуща цифра 1, Гранична відносна похибка  = 10 ^–2_/1 = 1%,

Гранична абсолютна похибка  = |a|_/(1 – ), тобто, 0,0129*0,01/(1-0,01) = 0,000130303 

(a+b) = (0,328 +0,781 ) ± (0,0010958893 +0,0011173104 ) = 1,109 ± (0,0022131997)

a² = (0,328 ± 0,0010958893) *(0,328 ± 0,0010958893) = 0,328*0,328 ± 2*0,328* 0,0010958893 = 0,107584 ± 0,0007189034

bc = (0,781±0,0011173104)*( 0,0129 ± 0,000130303) =0,781*0,0129 ± (0,781*0,000130303 + 0,0129*0,0011173104) = 0,0100749 ± 0,0001161799

a²+bc = (0,107584 ± 0,0007189034) +( 0,0100749 ± 0,0001161799) = 0,107584 + 0,0100749 ±( 0,0007189034 + 0,0001161799) = 0,107584 ± 0,0008350833

(a+b)/(a²+bc)

= ((a+b)*(a²+bc)+(a+b)(a²+bc) )/…=((a+b)*(a²+bc) + (a+b) *(a²+bc) )/…=

= ((a+b)*(a²+bc) + (a+b) *(2aa+cb +bc))/( (a²+bc)*(a²+bc)) =

= ((0,0010958893 +0,0011173104)*( 0,328*0,328+0,781*0,0129) + (0,328+0,781) *(2*0,328*0,0010958893 +0,0129*0,0011173104+0,781*0,000130303))/( (0,328*0,328+0,781*0,0129)*( 0,328*0,328+0,781*0,0129)) = 0,0857

f = 9,42555

f = 0,0857

f =0,0857/9,42555= 0,00909

3. ,

(a+b)/(a²+bc)

= a*(a*a+b*c-2*a*a-2*a*b)/((a²+bc)*(a²+bc)) + b*(a*a+b*c-c*a-c*b)/((a²+bc)*(a²+bc)) + c*(a*b+b*b)/((a²+bc)*(a²+bc)) =

0,0010958893*|(0,328*0,328+0,781*0,0129 + 2*0,328*0,328 + 2*0,328*0,781)|/((0,328*0,328+0,781*0,0129)*(0,328*0,328+0,781*0,0129)) + 0,0011173104*|(0,328*0,328+0,781*0,0129-0,0129*0,328-0,0129*0,781)|/((0,328*0,328+0,781*0,0129)*(0,328*0,328+0,781*0,0129))+0,000130303*|(0,328*0,781+0,781*0,781)|/( (0,328*0,328+0,781*0,0129)*( 0,328*0,328+0,781*0,0129))

=

0,0010958893*(0,8451629)/((0,328*0,328+0,781*0,0129)*(0,328*0,328+0,781*0,0129)) +0,0011173104*(0,131965)/((0,328*0,328+0,781*0,0129)*(0,328*0,328+0,781*0,0129))+0,000130303*(0,328*0,781+0,781*0,781)/((0,328*0,328+0,781*0,0129)*(0,328*0,328+ 0,781*0,0129))

=0,0857

9,42555 ± 0,0857

1*0,5 = 0,5< 0,08<0,0005 =0,001*0,5

Вірною є одна цифра 9,42555

2, Обчислити значення Z й оцінити абсолютну й відносну похибки результату,

вважаючи, що значення вихідних даних отримані в результаті округлення, Записати результат з урахуванням похибки

√^^^

a = 1,01 Δa = 0,005

b = 2,02 Δb = 0,005

c = 4,04 Δc = 0,005

ΔZ = | Z’_a|*Δa+| Z’_b|*Δb+| Z’_c|*Δc

Z’_a = 2*a/(2*(a*a+b*b*b+c*c)^(1/2))

Z’_b =3*b*b/(2*(a*a+b*b*b+c*c)^(1/2))

Z’_c =2*c/(2*(a*a+b*b*b+c*c)^(1/2))

Z’_a = 2*1,01/(2*(1,01*1,01+2,02*2,02*2,02+4,04*4,04)^(1/2)) =

2*1,01/(2*(25,584108)^(1/2)) =2*1,01/(2*5,06) =0,1996

Z’_b = 3*2,02*2,02/(2*(1,01*1,01+2,02*2,02*2,02+4,04*4,04)^(1/2)) =3*2,02*2,02/(2*5,06) = 1,2096

Z’_c = 2*4,04/(2*(1,01*1,01+2,02*2,02*2,02+4,04*4,04)^(1/2)) = 2*4,04/(2*5,06) =0,7984

0,005*(0,1996+1,2096+0,7984) = 0,011038

ΔZ = 0,005*(0,1996+1,2096+0,7984) = 0,011038

δ Z = 0,011038 /5,058 = 0,00218

округлюючи, маємо:

Z = 5,058 ± 0,011

Вар7

а = 12,45 b = 11,98

(a-b)/(a²+b²)

1, а = 12,45 b = 11,98

12,45 має 4 значущі цифри, тобто 4 вірні цифри, Перша значуща цифра 1, Гранична відносна похибка  = 10 ^–3_/1 = 0,1%, або 0,001

Гранична абсолютна похибка  = |a|_/(1 – ), тобто, 12,45*0,001/(1-0,001) = 0,0124624625 

11,98 має 4 значущі цифри, тобто 4 вірні цифри, Перша значуща цифра 1, Гранична відносна похибка  = 10 ^–3_/1 = 0,1%,

Гранична абсолютна похибка  = |a|_/(1 – ), тобто, 11,98*0,001/(1-0,001) = 0,011991992 

a-b = (12,45 -11,98) ±(0,0124624625 +0,011991992) = 0,47 ± 0,0244544545

a² = 12,45*12,45 ± 2*12,45*0,0124624625 = 155,0025 ± 0,3103153162

b² = 11,98*11,98 ±2*11,98 *0,011991992 = 143,5204 ± 0,2873281283

(a²+b²) = (155,0025 +143,5204 ) ± (0,3103153162 +0,2873281283) = 298,5229 ± 0,5976434445

 (a-b)/(a²+b²) = ((a-b)(a²+b²) + (a-b)(a²+b²))/(( a²+b²)*( a²+b²)) =

((a+b)(a²+b²) + (a-b)(a²+b²))/(( a²+b²)*( a²+b²)) =

((a+b)(a²+b²) + (a-b)(2aa+2bb))/(( a²+b²)*( a²+b²)) =

(a(a²+b²+2a*(a-b)) + b (a²+b² +2b (a-b)))/(( a²+b²)*( a²+b²)) =

(a*(a*a+b*b+2*a*(a-b)) + b*( a*a+b*b+2*b*(a-b)))/(( a*a+b*b)*( a*a+b*b)) =

(0,0124624625*(12,45*12,45+11,98*11,98+2*12,45*(12,45-11,98))+0,011991992*(12,45*12,45+11,98*11,98+2*11,98*(12,45-11,98)))/((12,45*12,45+11,98*11,98)*(12,45*12,45+11,98*11,98)) =0,0000850702

Абс, Похибка = 0,0000850702

f = 0,0015744

f = 0,0000850702

f =0,0000850702/0,0015744 = 0,054

3. ,

(a-b)/(a²+b²)=a*|((a²+b²)+2a*(a-b))|/(a²+b²)²+b*|(-(a²+b²)-2b*(a-b))|/(a²+b²)² =(a(a²+b²+2a*(a-b)) + b (a²+b² +2b (a-b)))/(( a²+b²)*( a²+b²)) = (a*(a*a+b*b+2*a*(a-b)) + b*( a*a+b*b+2*b*(a-b)))/(( a*a+b*b)*( a*a+b*b)) =

(0,0124624625*(12,45*12,45+11,98*11,98+2*12,45*(12,45-11,98))+0,011991992*(12,45*12,45+11,98*11,98+2*11,98*(12,45-11,98)))/((12,45*12,45+11,98*11,98)*(12,45*12,45+11,98*11,98)) =0,0000850702

0,0015744 ± 0,0000850702

0,001*0,5 = 0,0005< 0,000085<0,00005 =0,0001*0,5

У 0,001 після коми три цифри, тобто вірними є 0,002

2, Обчислити значення Z й оцінити абсолютну й відносну похибки результату,

вважаючи, що значення вихідних даних отримані в результаті округлення, Записати результат з урахуванням похибки

-10,1 +√(10,1*10,1-4,3*1,1) = -0,236937595

a = -10,1 Δa = 0,005

b = 4,3 Δb = 0,05

c = 1,1 Δc = 0,05

ΔZ = | Z’_a|*Δa+| Z’_b|*Δb+| Z’_c|*Δc

Z = -a+(a*a-b*c)^(1/2)

Z’_a = -1 + a/((a*a-b*c)^(1/2))

Z’_b = -c/(2*(a*a-b*c)^(1/2))

Z’_c = -b/(2*(a*a-b*c)^(1/2))

Z’_a = -1 + 10,1/((10,1*10,1-b*c)^(1/2)) = -1 +10,1/9,863 = 0,024

Z’_b = -1,1/(2*(10,1*10,1-b*c)^(1/2))= -1,1/(2*9,863 )= -0,0558

Z’_c = -4,3/(2*(10,1*10,1-b*c)^(1/2)) = -4,3/(2*9,863) = -0,218

ΔZ = 0,005*(0,024+0,0558+0,218) = 0,001489

δ Z = 0,001489/0,24= 0,00620

округлюючи, маємо:

Z = -0,24 ± 0,001489