1.8. Центр инерции

Импульс замкнутой механической системы имеет различные значения по отношению к различным инерциальным системам отсчета. Если система отсчета K' движется относительно системыKсо скоростьюV, то скорости частицv'_α иv_α в этих системах связаны соотношениемv_α =v'_α +V . Поэтому связь между значениямиP иP' импульса в этих системах дается формулой:

(1.69)

или

(1.70)

Всегда можно подобрать такую систему отсчета K', в которой полный импульс обращается в нуль. ПоложивP' =0, находим, что скорость этой системы отсчета

. (1.71)

Если полный импульс механической системы равен нулю, то говорят, что она покоится относительно соответствующей системы координат. Скорость V имеет смысл скорости движения механической системы как целого с отличным от нуля импульсом. Связь между импульсомP и скоростьюV системы как целого такая же, какая была бы между импульсом и скоростью одной материальной точки с массой, равной сумме масс в системе,.

Правая сторона формулы (1.71) может быть представлена как полная производная по времени от выражения:

(1.72)

Можно сказать, что скорость V системы как целого есть скорость перемещения в пространстве точки, радиус-вектор которой дается формулой (1.72). Такая точка является центром инерции системы.

Закон сохранения импульса замкнутой системы можно сформулировать как утверждение о том, что ее центр инерции движется прямолинейно и равномерно. Это есть обобщение закона инерции для свободной материальной точки.

Энергию покоящейся как целое механической системы обычно называют ее внутренней энергией E_вн. Она состоит из кинетической энергии движения частиц относительно друг друга и потенциальной энергии их взаимодействия. Полная же энергия системы, движущейся как целое со скоростьюV,

(1.73)

1.9. Момент импульса. Момент силы

Мы видели, что механические свойства замкнутой системы не изменяются при ее параллельном переносе в пространстве. Это свойство является следствием однородности пространства, то есть отсутствием каких-либо выделенных точек пространства, физические свойства системы не должны изменяться также и при ее поворотах в пространстве, ввиду отсутствия в пространстве выделенных направлений, что означает изотропность пространства. Оказывается, что неизмен­ность физических свойств системы при ее поворотах в пространстве также приводит к сохранению некоторой новой механической величины — момента импульса системы.

Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц, на которую действуют также внешние силы. Уравнения движения частиц имеют вид:

1.74

Умножим первое уравнение векторно слева на r₁, а второе наr₂.

1.75

Поскольку, т.к.иF₁₂ = ‑F₂₁,

получим

1.76.

Сложим полученные уравнения:

.

Векторы r₁ -r₂ иF₁₂ коллениарны, поэтому

. 1.77.

Если система замкнута . Еще одна сохраняющаяся величина, которую называют моментом импульса.

Примеры:

Момент импульса материальной точки, движущейся по прямой, относительно оси О

M =mvr

Момент импульса точки, движущейся по окружности

Моментом силы называют 1.77

N =r·F·sinα =F·1.78.

Момент силы. относительно точки О

;N =R·F·sinα. 1.79

Пара сил.

Продифференцируем 1.74 по времени:

1.80

Поступательное движение	Вращательное движение	Поступательное движение	Вращательное движение
Основной закон динамики		Работа и мощность
F∙Δt = mv2 ‑ mv1	M∙Δt = J∙ω2 ‑ J∙ω1	A=F∙s	A=М∙φ
F = m∙a	M = J∙ε	N = F∙v	N = M∙ω
Закон сохранения		Кинетическая энергия
момента импульса	импульса