1.11.3. Интервал

В обычном пространстве расстояние между двумя точками с координатамиx_i, у₁,z₁ иx₂, у₂,z₂. определяется выражением

,

где x =x₂ ‑x₁ и т. д. Это расстояние не зависит от выбора системы координат, т. е. является инвариантом. При переходе к другой координатной системе изменяются, вообще говоря, величиныx,y иz, однако эти изменения таковы, что расстояниеостается одним и тем же.

Казалось бы, что расстояние (или, как принято говорить, интервал) между двумя мировыми точками в четырехмерном пространстве-времени должно определяться аналогичным выражением

,

где t =t₂ ‑t₁ и т. д. Однако это выражение непригодно в качестве интервала, поскольку оно не является инвариантом — при переходе к другой инерциальной системе отсчета числовое значение этого выражения изменяется. Инвариантным, как мы покажем, является выражение

,

которое называют интерваломмежду событиями. Величинаs является аналогом расстояниямежду точками в обычном пространстве.

Причина того, что интервал определяется не выражением …………. , а выражением …………, заключается в том, что, как говорят, метрика пространства-времени отличается от метрики обычного трехмерного пространства. В обычном пространстве справедлива евклидова геометрия, вследствие чего его называютевклидовым. Качественное различие между временем и пространством приводит к тому, что в выражение для интервала квадрат временной координаты и квадраты пространственных координат входят с разными знаками. Пространство, в котором расстояние между точками определяется выражением вида, называется псевдоевклидовым. Его можно написать в виде

,

где — расстояние между точками обычного пространства, в которых произошли данные события.

Допустим, что рассматриваются события, происходящие с одной и той же частицей. Тогда отношение /t дает скорость частицыv. Поэтому, вынеся из-под корняct, получим, что

.

Мы получили выражение . Оно равноτ — промежутку собственного времени частицы между событиями. Таким образом, мы приходим к соотношению

s = c·τ.

Поскольку c — константа, аτ—инвариант, интервалs также оказывается инвариантом. Убедиться в инвариантности интервала можно еще одним способом……..

1.11.4. Преобразование и сложение скоростей.

Компоненты скорости частицы v в системе K определяются выражениями

В системе K' компоненты скорости v той же частицы равны

Найдем формулы, связывающие нештрихованные компоненты скорости со штрихованными.

.

.=

.

Окончательно получим

Аналогично

1.11.5. Релятивистский импульс.

Выражение, обеспечивающее инвариантность закона сохранения импульса, может быть получено, если вместо времени t подставить собственное время τ.

Тогда .

1.11.6. Релятивистское выражение для энергии.

В релятивистской механике справедливым остается выражение

.

Это означает, что . Откуда видно, что сила не является инвариантной величиной. Кроме того, силаF и ускорениеa не коллениарны.

Легко получить выражение для кинетической энергии. Поскольку

dE_k =dA иdE_k =v·p·dt,dA =F·ds

.

Отсюда следует, что E₀ =mc² является энергией покоя. Энергия и импульс в релятивистской механике не сохраняются. Инвариантом является выражение:

Взаимосвязь массы и энергии. Границы применимости механики Ньютона.