Колебания струны (стержня).

В натянутой струне, закрепленной с обоих концов, при возбуждении какого-либо произвольного поперечного возмущения возникнет довольно сложное нестационарное движение. Стационарное же движение в виде стоячей волны возможно лишь при вполне определенных частотах. Это связано с тем, что на закрепленных концах струны должны выполняться определенные граничные условия: в них смещение uвсе время должно равняться нулю. Значит, если в струне возбуждается стоячая волна, то концы струны должны быть ее узлами. Отсюда следует, что на длине струныдолжно укладываться целое число п полуволн:=n∙λ/2. Из этого условия находим возможные длины волн:

_n= 2/n,n= 1,2,...Соответствующие частоты,

где v— фазовая скорость волны, определяемая, согласно (1.30), силойFнатяжения струны и линейной плотностьюρт. е. массой единицы ее длины.

Частоты ν_nназывают собственными частотами струны. Частотуν₁(n=1) называют основной частотой, остальныеν₂,ν₃, ... — обертонами. Гармонические колебания с частотами (1.57) называют собственными колебаниями, или гармониками. В общем случае колебания струны представляют собой суперпозицию различных гармоник (спектр).

Колебания струны примечательны тем, что в рамках классической физики возникает дискретный спектр одной из величин (частоты). Такая дискретность для классической физики является исключением, в отличие от квантовой физики.

Приведенные выше соображения относятся не только к струне, но и к стержням, закрепленным различным образом — в середине, на одном конце и т. д. Отличие заключается лишь в том, что свободный конец стержня является пучностью. Это касается как поперечных, так и продольных колебаний.

Пример.Найдем собственные частоты стержня, закрепленного на одном конце, если длина стержня, модуль Юнга материала стержняEи его плотностьρ.

Поскольку свободный конец стержня должен быть пучностью, на длине стержня установится целое число полуволн и еще четверть волны, т. е. =nλ/2 +λ/4 = (2n+ 1)λ/4. Отсюда найдем возможные значенияλ_n, а затем, учитывая (1.26), и собственные частоты:

, n=0,1,2,...

Эффект Доплера для звуковых волн

Пусть источник, находящийся в газе или жидкости, испускает короткие импульсы с частотой ν. Если источник и приемник покоятся относительно среды, в которой распространяется волна, то частота воспринимаемых приемником импульсов будет равна частотеνисточника. Если же источник, или приемник, или оба движутся относительно среды, то частотаν', воспринимаемая приемником, вообще говоря, оказывается отличной от частоты источника:ν'ν. Это явление называют эффектом Доплера.

Сначала рассмотрим случай, когда источник Sи приемникPдвижутся вдоль проходящей через них прямой с постоянными скоростямиuиu' соответственно (относительно среды).

Если бы двигался только источник навстречу приемнику, испуская импульсы с периодом T= 1/ν, то за это время очередной импульс пройдет относительно среды расстояниеλ = v∙T, гдеv— скорость волн в среде, и пока будет испущен следующий импульс, источник «нагонит» предыдущий импульс на расстояниеuT. Таким образом, расстояние между импульсами в среде станет равнымλ' =vT–uT(рис.), и воспринимаемая неподвижным приемником частота (число импульсов за единицу времени)

.

Если же движется и приемник (пусть тоже навстречу источнику, то импульсы относительно приемника будут иметь скорость v+u', и число воспринимаемых за единицу времени импульсов

.

Нетрудно сообразить, что при движении как источника, так и приемника в противоположных направлениях, знаки перед u' иuнадо поменять на обратные. Еще раз подчеркнем, что скоростиu' иu— это скорости приемника и источника относительно среды.

Как видно из приведенных рассуждений, эффект Доплера является следствием «уплотнения» (или разряжения) импульсов, обусловленным движением источника и приемника.

Формулу целесообразнее записать в иной форме, более общей и более простой для запоминания и использования:

u'_xиu_x– проекции скоростей приемника и источника на осьX, проходящую через них и положительное направление которой совпадает с направлением распространения импульсов, т. е. от источникаSк приемникуP.

Прежде чем продолжить обсуждение возможностей выражения (1.60), приведем два простых примера.

Пример 1. ИсточникSи приемникPудаляются друг от друга по одной прямой в противоположные стороны относительно среды со скоростямиuиu'. Частота источникаν, скорость сигналов в средеv. Найдем частотуv', воспринимаемую приемником.

В данном случае проекция скорости приемника на ось Xестьu'_х=u', а проекция скорости источникаu_x= -u. Подставив эти величины в формулу (1.60), получим

ν' = ν (v - u')/(v + u).

Пример 2. ИсточникS, испускающий сигналы с частотойν, движется с постоянной скоростьюu_sотносительно приемникаP, установленного на башне (рис.). При этом воздушная масса перемещается относительно земной поверхности вправо с постоянной скоростьюu₀(ветер). Скорость звука в воздухеv. Найдем частотуv', воспринимаемую приемником.

Имея в виду, что в формулу входят скорости относительно среды, запишем: проекция скорости приемникаu'_х= –u₀, а проекция скорости источникаu_х=u_s–u₀. Обе проекции взяты, как должно быть, на осьX, направленную вправо. Остается подставить эти проекции в формулу (1.60), и мы получим: