§10.7. Самосопряженные операторы

Определение

10.7.1.

Линейный оператор , действующий в евклидовом пространстве E, называется самосопряженным, если для имеет место равенство .

Пример

10.7.1.

В евклидовом пространстве операторы вида , и будут самосопряженными для любого линейного оператора .

Действительно, для оператора , например, имеем, что при , откуда и следует его самосопряженность.

Лемма 10.7.1.

Линейный оператор в является самосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в каждом ортонормированном базисе симметрическая.

Доказательство:

Из определения 10.7.1. и формулы для некоторого ортонормированного базиса и, следовательно, в силу самосопряженности оператора .

Перейдем к другому ортонормированному базису . Матрица перехода , как было показано в §10.4., ортогональная, то есть для нее . Поэтому

Лемма доказана.

Лемма

10.7.2.

Все собственные значения самосопряженного оператора в вещественные числа.

Доказательство:

Допустим противное: пусть характеристическое уравнение самосопряженного оператора имеет комплексный корень , где .

По теореме 8.6.2. оператор в этом случае имеет двумерное инвариантное подпространство. То есть существует пара линейно независимых элементов x и y таких, что . Умножая эти равенства скалярно: первое - справа на y, второе - слева на x, получим

.

Вычитая почленно второе равенство из первого и принимая во внимание самосопряженность , приходим к заключению, что . Однако это противоречит предположению о том, что .

Лемма доказана.

Лемма

10.7.3.

Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны.

Доказательство:

Пусть для самосопряженного оператора имеют место равенства и , где ненулевые элементы и - собственные векторы оператора и - соответствующие им собственные значения. Умножив эти равенства соответственно: первое – скалярно справа на , второе – скалярно слева на , получим

или .

Вычитая эти равенства почленно и учитывая, что самосопряженный оператор, приходим к равенству , откуда .

Лемма доказана.

Лемма

10.7.4.

Пусть - инвариантное подпространство самосопряженного оператора , действующего в , и пусть - ортогональное дополнение к в . Тогда также инвариантное подпространство оператора .

Доказательство:

инвариантно для оператора , то есть . Если - ортогональное дополнение , то для любых и .

Поскольку инвариантное подпространство , то будет также иметь место . Но, в силу самосопряженности и . Последнее равенство означает, что , то есть и подпространство будет инвариантным для оператора .

Лемма доказана.

Теорема 10.7.1.

Для любого самосопряженного оператора в существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов .

Доказательство:

Для самосопряженного оператора в существует по крайней мере одно собственное значение . По лемме 10.7.2. это собственное значение вещественно. Из системы уравнений (8.5.1.) можно найти отвечающий собственный вектор . Без ограничения общности можно считать, что . Если n=1, то доказательство завершено.

Рассмотрим - линейную оболочку элемента , являющуюся одномерным инвариантным собственным подпространством . Пусть - ортогональное дополнение к . Тогда по лемме 10.7.4., инвариантно относительно оператора .

Рассмотрим теперь оператор как действующий только в . Тогда очевидно, что - самосопряженный оператор, заданный в , поскольку инвариантно относительно по лемме 10.7.4. и, кроме того, для , в том числе и для .

Применяя изложенные выше рассуждения, найдем новое собственное значение и соответствующий ему собственный вектор . Без ограничения общности можно считать, что . При этом может случайно совпасть с , однако, из построения ясно, что . Если n=2, то доказательство завершено. Иначе рассмотрим - линейную оболочку и ее ортогональное дополнение , найдем новое собственное значение и соответствующий ему собственный вектор и т.д.

Аналогичные рассуждения проводим до исчерпания .

Теорема доказана.

Следствие 10.7.1.

В базисе, построенном в теореме 10.7.1., самосопряженный оператор имеет диагональную матрицу в .

Доказательство:

Вытекает из утверждения теоремы 8.5.1.

Следствие 10.7.2.

Размерность собственного инвариантного подпространства, отвечающего некоторому собственному значению самосопряженного оператора, равна кратности этого собственного значения.

Доказательство:

Следует из доказательства теоремы 10.7.1.

Следствие 10.7.3.

Если линейный оператор в имеет n попарно ортогональных собственных векторов, то он самосопряженный.

Доказательство:

Пронормируем собственные векторы оператора и примем их за ортонормированный базис, в котором матрица этого линейного оператора диагональная и, следовательно, симметрическая. Тогда в силу леммы 10.7.1. линейный оператор самосопряженный.

Следствие доказано.

Следствие 10.7.4.

Если симметрическая матрица, то существует ортогональная матрица такая, что матрица диагональная.

Доказательство:

В ортонормированном базисе симметрическая матрица определяет самосопряженный оператор, поэтому в качестве искомой матрицы можно выбрать матрицу перехода от данного ортонормированного базиса к ортонормированному базису, образованному собственными векторами этого оператора по схеме использованной в доказательстве теоремы 10.7.1.

Следствие доказано.

Теорема

10.7.2.

Два самосопряженных оператора и имеют общую систему собственных векторов в тогда и только тогда, когда .

Доказательство:

Докажем необходимость.

Пусть и , тогда и, вычитая почленно, получим, что . Поскольку a произвольный собственный вектор, то данное соотношение верно и для всей совокупности собственных векторов, а значит, и для любого элемента в , так как из собственных векторов можно образовать базис. Поэтому .

Докажем достаточность.

Пусть самосопряженные операторы и коммутируют и пусть, кроме того, . Рассмотрим здесь лишь случай, когда все собственные значения оператора различны.

Покажем, что элемент евклидова пространства является собственным вектором оператора . Действительно, в силу , имеем .

Поскольку все собственные значения кратности единица, то  есть его собственное значение, отвечающее a и b одновременно. Поэтому и, поскольку , также . Значит, a - собственный вектор оператора .

Теорема доказана.