Шпора №2

№22

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число , что b=a.

В-ра бывают 3-х видов: свободные (можно перемещать куда угодно), скользящие (можно перемещать только вдоль линии,- приложение силы), связанные (нельзя перемещать никуда,- скорость точки)

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.

(а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.

Свойства:

(а,b)= (b,а)

(а,b)=  (а,b)

(а+b,с)= (а,с)+ (b,с)

(а,а)=|a|² – скал.квадрат.

Определение: два вектора называются ортогональными, когда скалярное пр-е равно 0.

Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

A*B=x₁*x₂+y₁*y₂+z₁*z₂

Док-во: Разложим каждый в-р в ортогональном базисе: i, j, k:

A=x₁*i+y₁*j+z₁*k и перемножим,- там где в-ра перпендикулярны – произведение = 0. В итоге получим ф-улу

№23

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.

Свойства:

[a,b]= - [b,a]

[а,b]=  [а,b]

[a+b,c]=[a,c]+[b,c]

[a,a]=0

Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.

Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.

Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ:

(A* B X C)=A*B*C = -B*A*C = C*B*A

Смеш. Произведение равно объему параллепипеда, или 1/6 = объем пирамиды.

№24

Пусть задана система векторов а₁, а₂, а₃,…,а_л (1) одной размерности.

Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство ₁а₁+₂а₂+…+_ла_л=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа ₁, ₂,…, _л=0 и R

Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном _i0 (i=1,…,k)

Свойства

Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.

Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.

Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.

Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.

Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.

В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.

2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкой пересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.

№29 Уравнение линии на плоскости

Ф(x,y)=0 – Уравнение в самом полном виде

Линия l представляет собой геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют условию y=f(x)

Пример в Декартовых координатах: (x-a)² + (y-b)² = R²

Пример в полярных координатах:

Параметрическое представление линии:

X=X(t) y=Y(t) t Є (-∞; +∞)

X=R( t- sint) Y=R(1- cost) – уравнение Циклоида

Как будто катится круг

№30

Определение: Линия называется алгебраической, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координатона определялась уравнением Ф(x, y) = 0, например, окружность – X² и Y²

Уравнение прямой линии на плоскости

Утверждение: Если на плоскости П задана произвольная прямая l и зафиксирована произвольная декартова система координат Oxy, то прямая l определяется в этой системе координат уравнением первой степени.

Док-во: введем произвольную систему координат,

Чтобы прямая l была осью X

Ах+By+C=0 , где A, B одновр.не равны нулю.

Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).

Доказательство: подставим коорд. т.М₀ в общее ур-е и получим Ах₀+By₀+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х₀)+B(y-y₀)=0, n(A,B), М₀М(х-х₀, y-y₀). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M₀M ортогональны. Т.о. n ортогонален прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой.

Замечание: пусть ур-я А₁х+B₁y+C₁=0 и А₂х+B₂y+C₂=0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А₁=t*А₂ и т.д.

Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.

1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)

2. С=0, А=0, By=0, значит у=0

3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0

4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ

5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY

Точка пересечения прямых:

x₁ y₁ 1 x - x₂ y - y₂ 0

x₂ y₂ 1 = x₁- x₂ y₁- y₂ 0 = x- x₂ y- y₂ = 0

x₃ y₃ 1 x₂ y₂ 1 x₁- x₂ y₁- y₂

№31 Уравнения прямой

1) Общее ур-е прямой: Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю

2) Уравнение прямой в отрезках: x/a+y/b=1.

Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b

x-x₁/e=y-y₁/m

Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M₁М(х-х₁; y-y₁)

x-x₁/x₂-x₁=y-y₁/y₂-y₁

Пусть на прямой даны две точки М₁(x₁;y₁) и М₂(x₂;y₂). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x₂-x₁; y₂-y₁)

y=kb+b.

u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u

Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x₁/e/e=y-y₁/m/e. y-y₁=k(x-x₁) при y₁-kx₁=b, y=kx+b

xcos+ysin-P=0

 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

№32 Угол между двумя прямыми в плоскости

A₁x + B₁y + C₁ = 0

A₂x + B₂y + C₂ = 0 n₁, n₂ – 2 вектора этих прямых

(n₁, n₂) = | n₁| |n₂| cos (n₁, n₂) = A₁ A₂+ B₁ B₂ - скалярное произведение

A₁ A₂ + B₁ B₂ A₁ A₂ + B₁ B₂ Угол между прямыми с угловым

COS = —————— = —————— коэффициентом

| n₁| |n₂| y= k₁x + b₁ y= k₂x + b₂ φ=(φ₂-φ₁)

1 tg φ₂ - tg φ₁ k₂ – k₁

перпендикулярность: k₂= - — tg φ= —————— = ———

k₁ 1+ tg φ₂ tg φ₁ 1+ k₂ k₁

№33 Расстояние от точки до прямой

Если прямые выше L, то знак +, если ниже – то минус.

Площадь треугольника, заданного тремя точками:

M₁(x₁, y₁)

M₂(x₂, y₂)

M₃(x₃, y₃)

№34 Линии второго порядка

Эллипс.

Эллипсом называется ГМТ, сумма расстояний которых от F1 до F2 есть постоянное число, которое мы обозначаем как 2a.

r₂+r₁=2a;

x²c²+2a²xc+a⁴=a²(x²+2xc+c²+y²)

x²(a²-c²)+a²y²=a²(a²-c²) Обозначим (a²-c²)=b²

x²b²+a²y²=a²b²

- каноническое уравнение эллипса

Уравнение Эллипса в параметрическом виде:

sin²φ + cos²φ = 1 φ-параметр

x=a•cosφ y=b•sinφ

Дирректриссой эллипса, соответствующей данному фокусу F₂ называется прямая D₂ , перпендикулярная к фокальной оси и отстоящая от центра эллипса на расстояние a/e и лежащая по ту же сторону от центра эллипса что и фокус F₂

ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА

Отношение расстояния любой точки эллипса до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса.

Доказательство: r₁/d₁=e

Уравнение эллипса в полярных системах координат

Теорема: Эллипс – ГМТ, удовлетворяющих условию: Отношение расстояния от точки М до произвольно выбранного фокуса F₂ кривой к расстоянию от точки М до соответствующей этому фокусу дирректриссе – есть величина постоянная и равная e.

Определение: эксцентриситет – величина равная отношению е=с/а;

№35 Линии второго порядка

Гипербола.

Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

Каноническое уравнение:

Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F₁F₂|=2c, М – произвольная точка гиперболы. r₁, r2 – расстояния от М до фокусов;

|r₂-r_1|=2a;

x²c²-2a²xc+a⁴=a²(x²-2xc+c²+y²)

x²(a²-c²)+a²y²=a²(a²-c²) Обозначим (a²-c²)=b²

Нам нужно чтобы величина c²- a² была положительная поэтому умнож. На (-1)

a²y² -x²(a²-c²) =a²(a²-c²)

x²(a²-c²)-a²y² =a²(a²-c²) Обозначим (a²-c²)=b²

- каноническое уравнение гиперболы

Уравнение Гиперболы в параметрическом виде:

sin²φ + cos²φ = 1 φ-параметр

x=a•cosφ y=b•sinφ

Дирректриссой гиперболы, соответствующей данному фокусу F₂ называется прямая D₂ , перпендикулярная к фокальной оси и отстоящая от центра гиперболы на расстояние a/e и лежащая по ту же сторону от центра гиперболы что и фокус F₂

ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛЫ

Отношение расстояния любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса.

Доказательство: r₁/d₁=e

Уравнение гиперболы в полярных системах координат

Теорема: Гипер-ла – ГМТ, удовлетворяющих условию: Отношение расстояния от точки М до произвольно выбранного фокуса F₂ кривой к расстоянию от точки М до соответствующей этому фокусу дирректриссе – есть величина постоянная и равная e.

Определение: эксцентриситет – величина равная отношению е=с/а;

№36 Линии второго порядка

Парабола.

Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.

Каноническое уравнение:

Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

|DF|=p, М – произвольная точка параболы; D – точка на директрисе; МF=r; MD=d;

Уравнение параболы в полярной системе координат

№37 Кривые второго порядка на плоскости.

Класс кривых, являющихся эллипсами кроме окружностей, параболами или гиперболами, могут быть определены по значению эксцентриситета:

е<1 -эллипс (т.к. а>c)

е=1 -парабола

е>1 -гипербола (т.к. с>a)

Общий вид кривой 2-ого порядка:

a₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+2a₁₃x+2a₂₃y+a₃₃=0

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение: Инвариантой ур-я линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I₁; I₂; I₃

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение:

I₂>0 – эллиптический тип I₁= a₁₁+ a₂₂ a₁₁ a₁₂ a₁₃

I₂<0 – гиперболический тип a₁₁ a₁₂ I₃= a₁₂ a₂₂ a₂₃

I₂=0 – параболический тип I₂= a₁₂ a₂₂ a₁₃ a₂₃ a₃₃

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I₂>0 и пусть I₁>0 следовательно уравнение (1) определяет: 1. I₃<0 – эллипс; 2. I₃=0 – точка; 3. I₃>0 – ур-е не определяет. Если I₃=0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I₃>0 говорят, что задается мнимый эллипс.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть уравнение определяет линию гиперболического типа. Т.е. I₂<0, I₃≠0 - ур-е определяет гиперболу; I₃=0 – пару пересекающихся прямых.

I₃=0 I₃<0 – перевернутая гипербола

I₃>0 обычная гипербола

Уравнение параболического типа

1. I₃≠0 –парабола

2. I₃=0 –2 параллельные или совпадающие прямые

№38 Поверхность в 3-х мерном пространстве

Поверхностью в 3-х мерном пространстве называется геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению F(x, y, z)=0 – поверхность в 3-х мерном пространстве.

Пример: шар: x² + y² + z² = a² Линия Ф(x, y, z)=0 – л. пересечения 2-х плоскостей

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.

1)Пусть задано трехмерное пространство.

Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0 (нормированное ур-е), где A,B,C≠0 одновременно. Справедлива и обратная теорема.

Теорема: Вектор n(A, B, C) ортогонален плоскости, задаваемой общим уравнением.

Вектор n – нормальный вектор плоскости.

2. Уравнение плоскости в отрезках:

3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.

Пусть n(A,B,C) и М(x₀;y₀;z₀). Запишем ур-е пл-ти:

Ax+By+Cz+D=0

Ax₀+By₀+Cz₀=-D

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

4) Уравнение плоскости ч/з 3 точки.

Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.

М₁(x₁;y₁;z₁); М₂(x₂;y₂;z₂); М₃(x₃;y₃;z₃)

Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.

М₁М x-x₁ y-y₁ z-z₁

М₁М₂ x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z₁ =0

М₁М₃ x₃-x₁ y₃-y₁ z₃-z₁

5. Параметрическое ур-е плоскости.

Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов. V(V₁;V₂;V₃); U(U₁;U₂;U₃); M₀(x₀;y₀;z₀), тогда плоскость имеет вид: система: x=x₀+V₁t+U₁s

y=y₀+V₂t+U₂s

z=z₀+V₃t+U₃s

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.

Ax+By+Cz+D=0; M₀(x₀;y₀;z₀)

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0; A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, поэтому n₁(A₁;B₁;C₁); n₂(A₂;B₂;C₂). Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.

A₁ B₁ C₁

A₂ B₂ C₂ 1) Если ранг равен 2, то плоскости пересекаются

2) Если ранг равен 1, то плоскости пересекаются 3) Если ранг расширенной матрицы =1, а основ-

ной =2, то плоскости совпадают

A₁ B₁ C₁ D₁

A₂ B₂ C₂ D₂ =1

№39 Уравнение прямой в пространстве

(линия пересечения 2-х плоскостей)

1) Есть точка M(x₀, y₀, z₀) и вектор a‾{a₁, a₂, a₃} Тогда прямая, проходящая через M и параллельная a‾:

Это каноническое уравнение прямой в пространстве

2. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и параллельной этой линии пересечения 2-х плоскостей:

i j k

n₃ = [n₁ x n₂] = A₁ B₁ C₁ = B₁ C₁ i - A₁ C₁ j + A₁ B₁ k

A₂ B₂ C₂ B₂ C₂ A₁ C₁ A₂ B₂

a₁ a₂ a₃

2. Параметрический вид прямой в пространстве

x=x₀+at

y=y₀+at

z=z₀+at

2. Прямая, которая проходит через 2 заданные точки:

M₁(x₁, y₁, z₁)

M₂(x₂, y₂, z₂)

2. Условие пересечения прямых:

2. Условие параллельности прямых:

a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0

2. Угол между прямыми в пространстве:

2. Кратчайшее расстояние между 2-мя скрещивающимися прямыми:

№40 Взаимное расположение прямой и плоскости

Ax+By+Cz+D=0

1. Aa₁ + Ba₂ + Ca₃≠0

2. Если прямая параллельна плоскости, то

Aa₁ + Ba₂ + Ca₃≠0

Ax₁+By₁+Cz₁+D≠0 - условия параллельности прямой и плоскости

3. Если прямая лежит в плоскости, то

Aa₁ + Ba₂ + Ca₃=0

Ax₁+By₁+Cz₁+D=0

4. Прямая ортогональна плоскости:

Ее направленный вектор коллинеарен вектору нормали плоскости

5. Угол между прямой и плоскостью:

№41 Поверхности второго порядка Эллипсоид (дыня)

a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₁₃xz + 2a₂₃yz + a₃₃ = 0

Каноническое уравнение:

Если a=b, - z=const – в сеч. Окр.

На сечении всегда будет эллипс; a, b и с – расстояния от центра

Конуса второго порядка

Цилиндрические поверхности

F(x, y)=0

№42 Поверхности второго порядка. Гиперболоиды.

1. Гиперболоид однополостный (цельный):

На сечении – эллипс. Если X=0 (продольное сечение), то будет гипербола

2. Двухполостный гиперболоид

верх

низ

3) Эллиптический параболоид (полдыни):

Гиперболический параболоид (седло):

№28 Преобразование декартовых координат на плоскости

Линейное ортогональное преобразование

Если выполняется – то ортогональное преобразование

x = x₁cosφ – y₁sinφ

y = x₁cosφ – y₁sinφ

Теорема: при ортогональных преобразованиях сохраняется расстояние между точками.

Док-во: M’₁M’₂ – расстояния между точками в новой сист.

|M’₁M’₂|² = |X’₁ –X’₂|² + |Y’₁-Y’₂|² =

(a₁₁x₂ + a₁₂y₂ – a₁₁x₁ – a₁₂y₁ )² +(a₂₁x₂ + a₂₂y₂ – a₂₁x₁ – a₂₂y₁ )² = [a₁₁(x₂ – x₁) + a₁₂(y₂ – y₁)]² + [a₂₁(x₂ – x₁) + a₂₂(y₂ – y₁)]² = a²₁₁(x₂ – x₁)² + a²₁₂(y₂ – y₁)² + 2a₁₁a₁₂ (x₂ – x₁) (y₂ – y₁) + a²₂₁(x₂ – x₁)² + a²₂₂(y₂ – y₁)² + 2a₂₁a₂₂ (x₂ – x₁) (y₂ – y₁) = (a²₁₁+ a²₁₂) (x₂ – x₁)² +(a²₁₂+ a²₂₂) (y₂ – y₁)²+2(x₂ – x₁) (y₂ – y₁)( a₁₁a₁₂ + a₂₁a₂₂ ) = |X’₁ –X’₂|² + |Y’₁-Y’₂|² Ч.Т.Д.

№28 Преобразование декартовых координат на плоскости

Линейное афинное преобразование

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов:

i₁ = a₁₁i + a₁₂j | xi

i₁ = a₂₁i + a₂₂j | xj

cos(i₁₁i) = a₁₁*₁ + a₁₂*₀

cos(j₁i) = a₂₁; a₂₁= cos(П/2 - φ) = -sinφ

cos(i₁j) = a₁₂; a₁₂= cos(П/2 - φ) = sinφ

a₂₂= cos(j₁j) = cosφ

Отсюда получаем:

x=a + x₁cosφ – y₁sinφ

y=b + x₁sinφ – y₁cosφ - формулы поворота системы координат на

угол φ

x=a + x₁

y=b + y₁ - формулы параллельного переноса.

x₁ = a₁₁x + a₁₂y + a₁₃ a₁₁ a₁₂

y₁ = a₂₁x + a₂₂y + a₂₃ ▲= a₂₁ a₂₂ =0

Если ▲=0, система называется вырожденной.

Линейное преобразование невырожденной с.к. называется АФФИННЫМ.

Св-ва аффинного преобразования:

1. последовательность выполнения 2-х аффинных преобразований – аффинное преобразование

2. x = x₁

y = y₁ также аффинное преобразование

3. Преобразование, обратное аффинному – тоже аффинное преобразование

4. Аффинное преобразование представляет собой взаимно однозначные преобразования плоскости

5. Теорема: При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую, параллельная прямая – в параллельную прямую