§10.6. Сопряженные операторы в евклидовом пространстве
Поскольку евклидово пространство является частным случаем линейного пространства, то все изложенные в разделе 8 утверждения справедливы и для линейных операторов, действующих в евклидовом пространстве. Однако операция скалярного произведения позволяет выделять в евклидовых пространствах специфические классы линейных операторов, обладающих рядом полезных свойств.
Определение 10.6.1. |
Линейный
оператор
|
,
заданный в евклидовом пространстве
E,
называется сопряженным
линейному
оператору
,
если для
имеет место равенство
.
Пример 10.6.1. |
В
евклидовом пространстве, образованном
бесконечно дифференцируемыми функциями,
равными нулю вне некоторого конечного
интервала, со скалярным произведением
Действительно, согласно правилу интегрирования несобственных интегралов по частям имеют место равенства:
|
,
для линейного оператора
(дифференцирования) сопряженным будет
оператор
.
.
Рассмотрим
теперь конечномерное евклидово
пространство E
с базисом
и выясним связь матриц линейных операторов
и
в этом базисе, предположив, что сопряженный
оператор существует. Пусть матрицы
операторов
и
имеют соответственно вид
и
,
а координатные
представления элементов x
и y
в базисе
-
и
, тогда
равенство
можно записать как
,
(10.6.1.)
где - матрица Грама выбранного в E базиса.
В
силу соотношения
последнее равенство можно преобразовать
к виду
,
а поскольку это равенство справедливо при любых x и y, то, приняв во внимание невырожденность матрицы Грама и проведя рассуждения аналогичные использованным при доказательстве леммы 5.1.2., заключаем, что матрица, стоящая в круглых скобках, - нулевая, а из соотношения
следует
равенство
,
которое,
в частности, для ортонормированного
базиса
имеет вид
.
Лемма 10.6.1. |
Если
|
,
то оператор
нулевой.
|
Доказательство:
Пусть
для
справедливо равенство
Лемма доказана. |
.
Тогда оно будет верным и для
.
Но из равенства
согласно определению 10.1.1. следует,
что
.
Наконец, в силу произвольности элемента
и определения 8.2.2., приходим к заключению,
что
.
Теорема 10.6.1. |
Каждый линейный оператор в евклидовом пространстве E имеет единственный сопряженный оператор. |
|
Доказательство:
Существование
в E
оператора
,
сопряженного оператору
,
следует из возможности построения
матрицы вида
|
для любого линейного оператора
.
|
Покажем
теперь единственность
.
Предположим, что
имеет два сопряженных оператора
и
Вычитая
почленно, получим
Теорема доказана. |
.
Это означает, что для
одновременно выполнены равенства
и
.
,
но тогда по лемме 10.6.1.
.
Теорема 10.6.2. |
Для
любых линейных операторов
и
|
,
действующих в E,
имеет место равенство
.
|
Доказательство:
Для
имеет место
Теорема доказана. |
.
Это означает, что
,
и, в силу леммы 10.6.1.,
.
Теорема 10.6.3. |
|
.
|
Доказательство:
справедливы
равенства
Теорема доказана. |
.
Отсюда следует, что
,
и, тогда по лемме 10.6.1.
.
Теорема 10.6.4. |
Ортогональное дополнение области значений оператора в E является ядром оператора . |
|
Доказательство:
1. Покажем
вначале, что ядро оператора
,
обозначаемое через
|
,
содержится во множестве
- ортогональном дополнении области
значений оператора
.
|
Действительно,
любой элемент
2. Теперь сравним размерности и . С одной стороны, в силу невырож- денности матрицы Грама и теоремы 8.4.3. ,
Но,
с другой стороны, по теореме 8.4.1.
размерность области значений
равна
Наконец,
из соотношений
Теорема доказана. |
,
то есть такой, что
,
будет ортогонален элементу
,
поскольку
.
.
,
поэтому
по теореме 10.5.1.
и
следует совпадение множеств
и
.
Замечание: в использованных обозначениях теорема 10.6.4. допускает:
1.
Формулировку совпадающую с формулировкой
теоремы 6.6.2.,
поскольку
совместность системы
означает, что элемент b
принадлежит области значений линейного
оператора
.
2.
В предположении, что столбцы
и
суть координатные представления
элементов E
в ортонормированном базисе, также и
нижеследующую формулировку:
Теорема 10.6.5. (Теорема Фредгольма) |
Система
линейных уравнений
совместна тогда и только тогда, когда
каждое решение однородной сопряженной
системы
|
ортогонально столбцу свободных членов
.