§10.4. Ортогональные матрицы в евклидовом пространстве

Теорема

10.4.1.

Ортогональные матрицы (и только они) в могут служить матрицами перехода от одного ортонормированного базиса к другому.

Доказательство:

Рассмотрим два различных ортонормированных базиса и в E с матрицей перехода от первого базиса ко второму. Поскольку в этих базисах матрица Грама единичная, то из соотношения следует равенство , или . Поскольку матрица перехода невырожденная, то, окончательно, имеем .

Теорема доказана.

Теорема

10.4.2.

Собственные значения линейного оператора, имеющего в ортогональную матрицу, равны по модулю единице.

Доказательство:

Из равенства следует, что . Перемножив почленно эти равенства, получим соотношение . В силу ортогональности имеем , а потому и, наконец, , поскольку собственные векторы ненулевые.

Теорема доказана.

Теорема

10.4.3.

Если матрица невырожденная, то ее разложение вида , где - ортогональная матрица, а - верхняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами, существует и единственно.

Доказательство:

Предположим, что имеется¹) два разложения . Из невырожденности следует невырожденность и , поскольку и ортогональные и очевидно невырожденные. Тогда последнее равенство можно переписать в виде , где также верхняя треугольная матрица.

Заметим, что есть диагональная матрица. Действительно, с одной стороны, она верхняя треугольная матрица как произведение верхних треугольных. С другой стороны, должна быть и нижней треугольной, поскольку она ортогональная (как произведение двух ортогональных матриц ) и ее обратная матрица совпадает с транспонированной.

Очевидно, что диагональная ортогональная матрица может иметь на диагонали лишь элементы, равные по модулю единице. Но диагональные элементы и положительны по условию, поэтому остается возможным лишь случай , откуда и следует единственность разложения.

Теорема доказана.