§ 20 Индуктивность проводников
Если произвольный контур подключить
к источнику с ЭДС
,
то ток в нем мгновенно появиться не
сможет. Это связано с тем, что ток в
контуре создает магнитное поле. Раз ток
меняется во времени, магнитный поток,
сцепленный с этим контуром, также будет
меняться. Как следствие закона
электромагнитной индукции, в контуре
появится ЭДС индукции
,
препятствующая возрастанию тока:
, (20.1)
где - индуктивность контура. Знак минус отражает правило Ленца.
Со временем в контуре установится стационарный ток . В окружающем пространстве будет стационарное магнитное поле, сцепленное с контуром. Использование определения сцепленное связано с тем, что магнитное поле – вихревое, все силовые линии замкнутые и пронизывают площадку, ограниченную контуром. Силовые линии как кольца нанизаны на виток. Для кругового витка с током вышесказанное иллюстрирует рис.16.5с.
Между магнитным потоком через площадку, ограниченную контуром, и силой тока в нем есть линейная зависимость (считаем пока, что контур с током находится в вакууме):
. (20.2)
Используя это выражение, можем найти индуктивность некоторых симметричных контуров.
1. Индуктивность единицы длины соленоида. Магнитный поток, сцепленный с куском соленоида длиной (рис.18.3) равен:
.
Индуктивность единицы длины безграничного соленоида равна:
. (20.3)
2. Индуктивность тороидальной катушки
квадратного сечения. Внутренний радиус
,
внешний радиус
,
толщина
,
число витков
(рис.20.1а).
Рис.20.1
Магнитный поток через сечение катушки равен:
.
При вычислениях мы использовали значение магнитного поля на произвольном удалении от оси, которое нашли с помощью теоремы о циркуляции магнитного поля:
.
Для индуктивности тороидальной катушки с прямоугольным сечением получили следующий результат:
. (20.4)
3. Индуктивность единицы длины коаксиального кабеля, радиус сечения центрального проводника которого , а радиус внешней цилиндрической проводящей оболочки (рис.20.1b).
Магнитный поток, пронизывающий заштрихованную на рисунке площадку, равен
,
а индуктивность единицы длины кабеля равна
. (20.5)
Такие параметры кабеля, как емкость и индуктивность единицы длины мы в дальнейшем будем использовать для определения его волнового сопротивления, которое, в свою очередь, будет использоваться для согласования линии связи (коаксиальный кабель) и нагрузки.
§ 21 Энергия магнитного поля
Определим работу источника тока, которую
он должен совершить, чтобы в контуре с
индуктивностью
создать ток
.
Работа источника, по перемещению заряда
против ЭДС индукции равна:
.
Она же равна увеличению энергии магнитного
поля контура при увеличении в нем тока
на
.
Полную энергию магнитного поля контура
с током
получим
после интегрирования:
. (21.1)
В частности, энергия магнитного поля в куске безграничного соленоида длиной будет равна:
.
В преобразованиях мы использовали
результаты 20.3 и 16.6. Окончательный
результат дает нам энергию однородного
магнитного поля в объеме
.
Используя его, можем определить объемную
плотность энергии магнитного поля:
. (21.2)
В случае неоднородного магнитного поля его энергия в любом объеме может быть найдена интегрированием по этому объему:
. (21.3)
Энергетические соотношения могут быть использованы и для нахождения индуктивностей проводников. Покажем это на третьем примере, рассмотренном в предыдущем параграфе.
Определяем энергию магнитного поля на единицу длины коаксиального кабеля, а затем и индуктивность единицы длины:
.
Получили тот же результат, что и при использовании для вывода выражения (20.2).