§ 17 Циркуляция магнитного поля

Для всех проводников с токами, которые мы рассмотрели в предыдущем параграфе, циркуляция магнитного поля по любому замкнутому контуру равна , где - ток, протекающий через площадку, ограниченную контуром.

Покажем это на примере длинного прямого проводника с током. Циркуляция по контуру (рис.17.1) будет равна:

.

В этом случае контур охватывает проводник с током.

Рис.17.1

Циркуляция по контуру будет равна:

В этом случае контур (специальной формы) не охватывает проводника с током. Этот результат можно обобщить на контур произвольной формы. Поскольку циркуляция аддитивна (Механика, §22), то циркуляция по контуру будет равна сумме циркуляций по маленьким контурам. Их форма может совпадать с формой контура . Контур мы также можем взять произвольной формы, представив его в виде набора элементов двух типов: элементы, направленные по радиусу (для них вклад в циркуляцию равен нулю также как и для элементов ad и bc контура ) и элементы, представляющие собой куски окружностей разного радиуса. Более того, результат не изменится, если замкнутый контур не будет лежать в плоскости, перпендикулярной проводнику.

Мы можем обобщить полученный результат следующим образом: циркуляция магнитного поля по произвольному замкнутому контуру будет равна , где - ток, протекающий через площадку, ограниченную контуром. В силу принципа суперпозиции полей можно утверждать, что для нескольких проводников с токами

, (17.1)

где суммирование ведется по всем проводникам, которые охватывает контур интегрирования. Если циркуляция вычисляется по контуру в проводящей среде с током, характеризуемым в каждой точке вектором , то сумма справа в (17.1) перейдет в интеграл

, (17.2)

который вычисляется по площадке, ограниченной замкнутым контуром.

Используя теорему Стокса, можно от интегрального соотношения (17.2) перейти к дифференциальному соотношению между магнитным полем и током его порождающим:

. (17.3)

Получили знакомый нам из гидродинамики результат: ротор аксиального поля дает нам вихревое поле, ротор которого нам опять дает аксиальное поле (Механика, §26, решение задачи Стокса):

.

Можно доказать справедливость дифференциального соотношения (17.3) исходя из общих определений, воспользовавшись векторным анализом.

Все магнитные поля для симметричных проводников с токами, которые мы рассмотрели в §16, могут быть получены с помощью уравнения (17.2), которое называют теоремой о циркуляции магнитного поля.

§ 18 Сила Ампера

Если проводник с током находится в магнитном поле, то на каждый носитель заряда, движущийся с дрейфовой скоростью , будет действовать магнитная составляющая силы Лоренца (12.4). Ее часто называют просто силой Лоренца. Выделим элемент проводника с током , который характеризуется вектором (рис.18.1).

Рис.18.1

Количество свободных носителей заряда в нем . Сила, действующая на каждый носитель заряда, передается атомам проводника (хотя носители и свободные, но не настолько, чтобы совсем не взаимодействовать с атомами). Результирующая сила, действующая на элемент с током , будет равна:

. (18.1)

Она называется силой Ампера (H.Ampere), который первым описал взаимодействие проводников с токами и силу, действующую на проводник с током в магнитном поле. Формула (18.1) весьма условна, как и все формулы, в которые входит вектор элемента с током , поскольку создать такой объект невозможно. Здравый смысл возвращается, как только мы определяем результирующую силу, действующую на весь проводник с током:

. (18.2)

Применим этот результат для нескольких частных случаев, которые будут важны для нас в дальнейшем.

1. Круговой виток с током в однородном магнитном поле . Если магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости витка, пусть для определенности (рис.18.2а), то результирующая сила Ампера, как и суммарный момент сил Ампера, будут равны нулю. Положительное направление вектора выбираем таким, чтобы, глядя с этого направления, ток в контуре был направлен против часовой стрелки.

Действие силы Ампера приведет к натяжению витка. Условие равновесия элемента : . Проекция этого векторного равенства на направление биссектрисы угла даст нам следующее уравнение:

.

Мы учли, что силы натяжения в каждом сечении витка одинаковы. В витке

Рис.18.2

появилось упругое напряжение:

,

где - площадь сечения проводника, - плотность тока в нем.

Теперь рассмотрим произвольную ориентацию витка с током. Пусть угол между векторами и равен (рис.18.2b). В этом случае результирующая сила Ампера, действующая на контур, будет опять же равна нулю, а момент сил Ампера будет направлен по оси х и его модуль будет равен:

Определим магнитный момент плоского контура с током:

. (18.3)

Тогда момент сил Ампера, действующий на плоский контур будет равен:

. (18.4)

2. Соленоид радиуса с током и числом витков на единицу длины . Магнитное поле вне соленоида пренебрежимо мало, внутри соленоида поле определяется выражением (16.6). Можем считать, что эффективное поле, в котором находится оболочка соленоида с током, равно половине поля в соленоиде: . На рис.18.3 показана часть длинного соленоида толщины .

Рис.18.3

Сила Ампера, действующая на площадку , будет равна:

.

Можем определить давление, стремящееся разорвать проводящую оболочку соленоида:

.

В этом случае соленоид с током не находится во внешнем поле, однако появляются силы Ампера, стремящиеся разорвать оболочку соленоида. Учет давления на оболочку, которое мы определили, будет определяющим при проектировании импульсных устройств для получения больших магнитных полей.