§ 19 Переменное магнитное поле. Электромагнитная индукция
Из общего определения электрического поля (12.3), вычислив ротор левой и правой части, получим:
, (19.1)
поскольку ротор всякого градиента равен нулю. Видно, что переменное во времени магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.
Подкрепим этот результат, рассмотрев несколько частных задач.
1. Рассмотрим контур, площадь которого
меняется в однородном магнитном поле
.
Магнитное поле направлено перпендикулярно
плоскости, в которой лежит контур. Одна
из перемычек движется с постоянной
скоростью
,
ее длина
(рис.19.1). Если контур разомкнут, то, как
принято говорить, в нем появится
электодвижущая сила (ЭДС)
.
Рис.19.1
На свободные носители заряда в движущейся
перемычке будет действовать магнитная
составляющая силы Лоренца (12.4). Заряды
начнут перераспределяться, появится
электрическое поле, в равновесном
состоянии такое, что
.
На концах перемычки будет разность
потенциалов
,
равная
.
Потенциал неподвижных частей контура
одинаков, поэтому мы можем сказать, что
в контуре появится ЭДС, равная
.
Циркуляция вектора напряженности
электрического поля по контуру и будет
равна этой разности потенциала (4.5):
.
Направление обхода контура выбираем против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора .
Формально полученный знак минус отражает правило Ленца: для замкнутого контура индукционный ток направлен так, чтобы магнитное поле, создающееся индукционным током, препятствовало бы изменению магнитного потока, пронизывающего контур. При установлении правила Ленца необходимо помнить, что силой, заставляющей заряды в контуре двигаться, будет магнитная составляющая силы Лоренца. Правило Ленца является частным случаем, применимым в электродинамике, более общего принципа Ле-Шателье: всякое внешнее воздействие, выводящее систему из равновесного состояния, генерирует в системе процессы, стремящиеся уменьшить влияние внешнего воздействия. Это некий глобальный принцип отрицательной обратной связи. Правило Ленца мы обосновали строго, а оно было отправной точкой при формулировании принципа Ле-Шателье, к которому мы еще вернемся в термодинамике.
2. Контур, вращающийся в постоянном однородном магнитном поле (рис.19.2). Устройство, которое мы сейчас рассмотрим, может быть использовано в качестве генератора переменного напряжения, меняющегося по гармоническому закону с частотой, равной частоте вращения контура.
Контур – круговой виток радиуса
,
вращается с угловой скоростью
.
На рис.19.2 показан общий вид a),
проекция на плоскость перпендикулярную
оси вращения b), проекция
на плоскость контура с). В произвольный
момент времени угол между вектором
и вектором площадки контура
равен
.
Тогда в куске контура
появится сила Лоренца, действующая на
свободные носители. Если контур разомкнут,
эта сила уравновесится кулоновской
силой так, что
.
Рис.19.2
Циркуляция электрического поля по всей длине кольца равна:
.
И в этом случае получили ЭДС, возникающую в контуре, пропорциональную скорости изменения магнитного потока, пронизывающего площадку, ограниченную контуром.
3. Неподвижный неизменный контур в переменном магнитном поле. М.Фарадей, изучая открытое им явление электромагнитной индукции, экспериментально проанализировал всевозможные способы получения индукционного тока в контуре. При анализе электромагнитной индукции переход от индукционных токов, которые сложнее описать, к ЭДС сделал Максвелл. Неважно за счет чего меняется во времени магнитный поток, пронизывающий контур, всегда возникающая при этом в нем ЭДС оказывается равна:
. (19.2)
Это выражение называют законом электромагнитной индукции Фарадея. В случае переменного магнитного поля и неподвижного неизменного контура
.
Частная производная по времени использовалась потому, что все остальные параметры постоянны. Этот случай говорит нам о том, что с переменным магнитным полем связано вихревое (переменное же в общем случае) электрическое поле. Интегральная связь между ними:
. (19.3)
Связь в дифференциальной форме, вытекающая из определения электрического поля, дается уравнением (19.1). Это же уравнение может быть получено из (19.3) после использования теоремы Стокса:
.
Резюме: переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.