§ 12 Сила, действующая на заряд в электрическом поле
Силу, действующую на заряд
в электрическом поле, создаваемом
неподвижными зарядами, мы уже определили
(3.9):
.
Для того, чтобы найти силу в произвольном
случае, когда электрическое поле
характеризуется не нулевыми скалярным
и векторным потенциалами, можем
воспользоваться уравнением Гамильтона
(Механика (44.3)) и определением обобщенного
импульса для заряженных тел (10.1). После
выражения энергии заряженной частицы
через обобщенный импульс и использования
уравнения Гамильтона для силы, действующей
на заряд
,
который движется в электрическом поле
со скоростью
,
получим:
. (12.1)
Используя это уравнение, мы можем решить
любую задачу динамики для заряженной
частицы. Однако на практике для удобства
решения таких задач очень редко пользуются
описанием электрического поля в терминах
.
Общепринятым является описание
электрического поля в терминах
.
Первая величина нам уже знакома – это
напряженность электрического поля,
вторая величина характеризует новое
векторное поле, которое называется
магнитным полем и определяется следующим
образом:
. (12.2)
Итак, наше электрическое поле, которое
создается зарядами, превратилось в два
векторных поля – электрическое
и магнитное
.
Такое описание электродинамики является,
несомненно, избыточным, менее
соответствующим ‘природе вещей’.
Уточним определение электрического поля для произвольного случая. Если в выражении (12.1) силу, действующую на заряд , разделим на этот заряд, то первые два слагаемых определят нам электрическое поле в общем случае:
. (12.3)
В итоге, сила, действующая на заряд , движущийся со скоростью в электрическом и магнитном поле, будет равна:
. (12.4)
Эта сила называется силой Лоренца, первое слагаемое нам уже известно, второе слагаемое – магнитная составляющая силы Лоренца всегда будет направлена перпендикулярно вектору скорости тела. Изменения кинетической энергии тела с зарядом
(12.5)
будет определяться только электрическим полем.
Обращаю Ваше внимание на то, что добавка в функцию Гамильтона (полная энергия) для движущегося заряда в поле будет равна
.
Первое слагаемое может быть выделено из кинетической энергии в соответствии с уравнением (12.5) и общим определением напряженности электрического поля (12.3).
§ 13 Запаздывающие потенциалы
Все наши рассуждения о скалярном и
векторном потенциалах начинались с
определений (4.2) и (10.2). Мы определяли
потенциалы в произвольной точке в момент
времени
в
-
системе отсчета и в момент времени
в
-
системе отсчета. В силу конечности
скорости распространения электромагнитного
(как, впрочем, и всякого другого)
взаимодействия потенциалы в определенный
момент времени не могут определяться
положением зарядов в этот момент времени.
Потенциал, созданный движущимся зарядом
в определенной точке пространства в
определенный момент времени, будет
определяться положением этого заряда
в предшествующий момент времени.
Потенциал в этом случае будет называться
запаздывающим потенциалом.
Общее описание поля для нескольких
движущихся зарядов становиться
исключительно громоздким, поскольку
эти “предшествующие моменты времени”
для каждого движущегося заряда будут
различны. Действительно, сдвиг во времени
для заряда
равен
.
Он определяется расстоянием от заряда
до точки в пространстве, где мы определяем
поле.
Определим потенциал поля, созданный движущимся вдоль оси х со
скоростью
стержнем с собственной длиной
и зарядом
.
Рис.13.1
Если стержень покоится (рис.13.1а), то потенциал в точке наблюдения Р будет равен:
.
Для
,
раскладывая логарифм в ряд Тейлора по
малому параметру
,
получим очевидный результат:
.
Теперь определим потенциал электрического поля в точке наблюдения Р, созданный движущимся стержнем (рис.13.1b).
Для абстрактного точечного заряда
потенциал в точке наблюдения в момент
времени
будет определяться положением этого
заряда в момент времени
:
. (13.1)
Для заряда
в начале стержня в точке А и в конце
стержня в точке B справедливы
следующие соотношения:
,
.
Вычитая из первого уравнения второе, получим:
.
Первое слагаемое в квадратных скобках
– “эффективная” (увеличенная) длина
стержня
,
для которого положения концов определяются
в разные моменты времени. Второе слагаемое
в квадратных скобках – длина движущегося
стержня
,
определенная в момент времени
.
Учет сокращения длины движущегося
стержня не принципиален, поскольку
полный заряд стержня – величина
инвариантная. Поэтому при сокращении
длины стержня
растет линейная плотность заряда
.
Линейная плотность заряда в стержне с
увеличившейся “эффективной” длиной
остается неизменной, равной
.
Временная разность
- это разность времени передачи информации
о положении начала и конца стержня
“эффективной” длины
.
Учитывая вышесказанное, получим уравнение
,
из которого “эффективная” длина стержня будет равна:
.
Потенциал в точке наблюдения Р получим после интегрирования по длине :
.
Если точка наблюдения Р будет находиться
в направлении перпендикулярном
направлению движения заряда, то потенциал
электрического поля будет равен
.
Обобщая полученный результат для
произвольной точки наблюдения получим,
что потенциал электрического поля
движущегося заряда равен:
, (13.2)
где определяется в запаздывающий момент времени. Различие между (13.1) и (13.2) мы можем понимать так, что абстрактных точечных зарядов не существует. Любой объект имеет протяженность, и точечным мы его считаем только при выполнении условия .
После определения скалярного потенциала движущегося заряда можем определить и векторный потенциал:
. (13.3)
Потенциалы (13.2, 13.3) называют потенциалами Лиенара-Вихерта (A.M.Lienard-E.Wiechert, 1898).