Физический смысл производной

Пусть S = S(t) является функцией зависимости пути от времени. Тогда

.

Отсюда следует, что производная функции равняется мгновенной скорости изменения функции-в этом заключается физический смысл производной.

Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция от времени t. А производная этой функции называется ускорением движения: Таким образом, производная от скорости по времени есть ускорение.

Следовательно,

15.Взаимосвязь непрерывности и дифференцируемости функции. Непосредственное нахож­дение производной.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде , где , при .

Если функция дифференцируемая в точке , то она имеет конечную производную в этой точке. Действительно,

.

Справедливо также обратное утверждение, если функция одной переменной имеет конечную производную, то она дифференцируемая. Пусть , где . По теореме 1.3 о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции

.

Следовательно, является дифференцируемой функцией.

Рассмотрим, как связана дифференцируемость функции с ее непрерывностью.

Если функция, дифференцируемая в точке, то она непрерывна в этой точке. Действительно, , что соответствует определению 1 непрерывности функции в точке.

Однако, не всякая непрерывная функция является дифференцируемой.

Непосредственное нахождение производной

Найти производные функций, используя определение производной.

1. . Производная постоянной равна нулю.

2. .

16.Правила дифференцирования функций.

Пусть u = u(x) и v = v(х) – дифференцируемые функции. Получим формулы дифференцирования суммы, произведения и частного функций. При этом используем определение производной и свойства пределов.

1. Производная суммы (разности) функций.

.

2. Производная произведения функций.

.

3. Производная частного функций (v(х)  0).

.

4. Производная сложной функции , .

.

Правило нахождения производной сложной функции. Производная сложной функции равняется произведению производных составляющих функций; причем при нахождении производных составляющих функций их аргументы не изменяются.

5. Производные взаимно обратных функций и .

.

Следовательно, производные взаимно обратных функций являются обратными по величине.

17.Вывод формул дифференцирования основных элементарных функций.

1. . При нахождении производной функции используем определение производной, формулы преобразования тригонометрических выражений и первый замечательный предел.

.

2. . Используем формулы приведения и производную сложной функции, получим

.

3. . Используем формулу дифференцирования частного, получим

.

4. . .

При выводе формул нахождения производных обратных тригонометрических функций используем взаимосвязь производных взаимно обратных функций и формулы взаимосвязи тригонометрических функций.

5. . Для обратной функцией является .

.

6. .

.

7. .

.

8. .

.

9. .При нахождении производной логарифмической функции используем определение производной и второй замечательный предел.

.

В частном случае, когда a = e, .

10. При нахождении производной показательной функции используем так называемое логарифмическое дифференцирование. Для этого логарифмируем равенство , получаем . Это равенство дифференцируем; при этом учитываем, что сложная функция.

.

В частном случае, когда a = e , .

11. Производную степенной функции найдем так же, используя логарифмическое дифференцирование.

.

В практических задачах часто встречаются производные от функций и , которые полезно помнить.

. .

12. Производная обобщенно-показательной (показательно-степенной) функции . Используем определение логарифма, представим функцию в виде Эту функцию дифференцируем как сложную показательную функцию.

=

= .