38.Бесконечно малые функции.Определения непрерывности функции нескольких переменных. Свойства непрерывных функций.

Функция нескольких переменных называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю. =0

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если = или = ). Основные свойства непрерывных функций двух переменных 1.Теорема 1 Если функция непрерывна в замкнутой ограниченности, то она ограничена в этой области. 2.Теорема 2 Если функция непрерывна в замкнутой ограниченности, то она достигает в этой области своих точных верхней и нижней граней(аналог второй теоремы Вейерштрасса). 3.Теорема 3 Если функция непрерывна в замкнутой ограниченности, то она принимает все промежуточные значения между любыми своими значениями A и B, т.е. если A и A и B-два значения функции , то т.( ; ), т.ч. ; )=C(аналог теоремы Больцано-Коши). Следствие из теоремы Если , а , то , т.ч. =0, , , .

39. Частные приращения и частные производные функции нескольких переменных.Правило нахождения частных производных. Геометрический смысл частных производных.

Для функции частными приращениями по х и по y называется соответственно

,

.

Частной производной функции нескольких переменных по некоторой переменной называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению переменной, стремящемуся к нулю, т. е.

,

.

Для функции не имеют смысла записи или .

Не существует просто производная функции , а существуют только частные производные по х и по y, обозначаемые и .

40.Необходимые условия дифференцируемости функции нескольких переменных. Примеры взаимосвязи дифференцируемых и непрерывных функций.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется дифференцируемой в точке если ее полное приращение в этой точке может быть записано в виде

, (4.1)

где – некоторые числа, – бесконечно малые при , (или, короче при ).

Замечание. Функции и зависят от .

Функция , дифференцируемая в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.

ТЕОРЕМА 4.1. (необходимые условия дифференцируемости).

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные по обеим независимым переменным. Причем , а .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО…

1) Пусть дифференцируема в точке . Значит ее приращение в этой точке может быть записано в виде

, (*)

где – некоторые числа, – бесконечно малые при , . Тогда

.

С другой стороны,

.

Следовательно, ,

⇒ ,

т.е. непрерывна в точке .

2) Пусть . Тогда формула (*) примет вид

,

где – некоторое число, – бесконечно малая при , . Отсюда получаем:

и .

Аналогично доказывается, что существует . ∎

С учетом теоремы 4.1 равенства (4.1) и (4.2) можно теперь записать в виде (4.3)

(4.4)

где – бесконечно малые при , , , – бесконечно малая при .

Утверждение обратное теореме 4.1 неверно. Из непрерывности функции двух переменных в точке и существования в этой точке ее частных производных еще не следует дифференцируемость функции.

ТЕОРЕМА 4.2. (достаточные условия дифференцируемости).

Если функция имеет в некоторой окрестности точки частные производные и , причем в самой точке эти производные непрерывны, то функция дифференцируема в этой точке.

ПРИМЕР. 1) Функция в любой точке дифференцируема, так как ее частные производные и всюду непрерывны.

2) Функция дифференцируема в каждой точке полуплоскости , так как там существуют и непрерывны ее частные производные .

И в заключение этого пункта заметим, что все определения и теоремы, которые мы здесь формулировали, легко переносятся на случай функций большего числа переменных.