4. Полярная система координат на плоскости

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки O, называемой полюсом, луча ON, исходящего из этой точки, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки O считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки).

Рис.7

Полярными координатами произвольной точки M (относительно заданной системы) называются ρ = OP и θ = ‹NOP (рисунок 7). Угол θ при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число ρ называется полярным радиусом, число θ – полярным углом точки M.

Символ P (ρ,θ) обозначает, что точка P имеет полярные координаты ρ и θ.

Полярный угол θ имеет бесконечно много возможных значений. Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам –π< θ < + , называется главным.

При условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам:

x = ρ cosθ, y = ρ sinθ.

В этом случае формулы

ρ= , tg θ=

являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

5.Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы

Полярное уравнение, общее по форме для эллипса, одной ветви гиперболы и параболы, имеет вид:

ρ= ,

где ρ,θ – полярные координаты произвольной точки линии, p- фокальный параметр (половина фокальной хорды линии, перпендикулярной к её оси),

ℇ- эксцентриситет. Полярная система координат при этом выбрана так, что полюс находится в фокусе, а полярная ось направлена по оси линии в сторону, противоположную ближайшей к этому фокусы директрисы.

Пример 3. Линия задана уравнением в полярной системе координат:

ρ= . Записать уравнение в декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось с полярной осью.

ρ= , так как ⟶ = ⟶

x+ =1 ⟶ x² + y² = 1-2x +x²⟶ y² = -2x+1 – уравнение параболы.

Рис.8

Поверхности второго порядка.

Поверхность второго порядка – это поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением второй степени.

Геометрическое исследование поверхностей второго порядка по заданным уравнениям проведём с помощью метода параллельных сечений (МПС).

1. Конус второго порядка.

Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением:

(1),

или аналогично:

.

Уравнение (1) называется каноническим уравнением второго порядка. Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечении этой поверхности плоскостью Oxz (y=0) получим линию:

Эти уравнения в плоскости Oxz (y=0) определяют пару пересекающихся прямых.

Аналогично, в сечении плоскостью Oyz (x=0) также получаются две пересекающиеся прямые:

Рассмотрим теперь сечение плоскостью z=h, h||Oxy:

, .ддл

Из этих уравнений следует, что при h>0, h<0 в сечении получаются эллипсы с полуосями:

При увеличении абсолютной величины h величины a₁ и b₁ также увеличиваются. При h=0, линия пересечения поверхности с плоскостью z=0 вырождается в точку с координатами (0; 0; 0).

Т аким образом, рассмотренные сечения позволяют представить конус в виде поверхности изображённой на рисунке 1.

Рис. 1.