Лекция №12 -13 Алгебраические линии второго порядка. Полярная система координат на плоскости

1. Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, величина постоянная.

Для вывода канонического уравнения эллипса выберем начало O декартовой прямоугольной системы координат в середине отрезка F₁F₂ , а оси Оx и Оy направим так, как указано на рисунке 1.

Пусть длина отрезка F₁F₂ = 2с, тогда в выбранной системе координат точки F₁ и F₂ соответственно имеют координаты (-с; 0) и (с; 0). Обозначим через 2a постоянную, о которой говорится в определении эллипса. Очевидно 2a > 2c, то есть a > с .

Пусть M – точка плоскости с координатами (x; y), обозначим r₁ и r₂ расстояние от точки M до точек F₁ и F₂ соответственно.

Согласно определению эллипса равенство

r₁ + r₂ = 2a (1)

является необходимым и достаточным условием расположения точки M(x; y)

на данном эллипсе. Используя формулу расстояния между двумя точками:

r₁ = , r₂ = . (2)

Из (1) и (2) вытекает, что соотношение

+ = 2a (3)

Представляет собой достаточное условие расположения точки M(x; y) на данном эллипсе. Поэтому (3) можно рассматривать как уравнение эллипса.

Упростим (3).

( ² = (2a - )² ,

(x + c)² +y² = 4a² – 4a + (x - c)² + y² или

a = a² – xc. (4)

Возведём обе части (4) в квадрат

a²x² – 2a²cx + a²c² +a²y² = a⁴ – 2a²cx + c²x².

Отсюда

(a² – c²)x² +a²y² = a²(a² – c²). (5)

Обозначим

b² = a² – c². (6)

Тогда (5) примет вид

b²x² + a²y² = a²b² | : a²b²,

+ =1. (7)

Можно показать, что (3) и (7) равносильны. Уравнение (7) называется каноническим (простейшим) уравнением эллипса.

Из уравнения (7) следует, что эллипс симметричен относительно осей Ox и Oy, a также относительно начала координат. Оси симметрии эллипса называются его осями, центр симметрии – центром эллипса. Точки, в которых эллипс пересекает оси, называются его вершинами. Вершины ограничивают на осях отрезки, равные 2a и 2b. Величины a и b называют соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется отношение , где с- половина расстояния между фокусами, a – большая полуось эллипса.

Эксцентриситет Обозначается буквой ℇ . Так как с< a, то 0≤ ℇ ≤1 (для эллипса).

Из с²= a² – b²| : a² ⟶ = 1- ⟶ℇ²= 1- ( )² ⟶

⟶

При очень малом числа a и b почти равны и эллипс близок по форме к окружности. Если же близко к единице, то b весьма мало по сравнению с a и эллипс сильно вытянут вдоль большой оси. Таким образом, эксцентриситет эллипса характеризует меру вытянутости эллипса.

Определение. Две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него называются директрисами эллипса. Уравнения директрис эллипса, заданного каноническим уравнением (7) имеют вид: x = - и x = .