Следовательно, оптимальным по этому критерию является третий проект x3 , так как при этом проекте оценка w1(X) принимает наименьшее значение.

2. Найдем решение по критерию Лапласа. Так как неопределенный фактор принимает четыре значения, то каждому из них припишем вероятность 0.25. В соответствии с (4) получаем

W₂(x₁)=110.25+150.25+170.25+120.25=13.75;

W₂(x₂)=140.25+120.25+100.25+160.25=13;

W₂(x₃)=120.25+130.25+140.25+150.25=13.5.

Минимальные ожидаемые затраты получаются при x₂, следовательно, второй проект является оптимальным по критерию Лапласа.

3.Для нахождения наилучшего проекта по критерию Сэвиджа необходимо записать функцию сожаления (x,y). Так как необходимо минимизировать затраты, применим формулу (6). Функцию сожаления так же удобно записать в виде матрицы

0	3	7	0
3	0	0	4
1	1	4	3

Применяя к функции сожаления критерий наилучшего гарантированного результата, получим

W₃(x₁)=max{0; 3; 7; 0}=7;

W₃(x₂)=max{3; 0; 0; 4}=4;

W₃(x₃)=max{1; 1; 4; 3}=4.

Наименьшее значение критерия достигается на x2, x3 . Таким образом, по критерию Сэвиджа оптимальными будут второй и третий проекты.

4. При применении критерия Гурвица ОС должна определить коэффициент [0; 1] – показатель оптимизма. Пусть =0.4. Так как в этой задаче требуется минимизировать целевую функцию, то критерий крайнего оптимизма будет задаваться как минимальное из возможных значений при данном значении x:

W₄(x₁)=min{10; 15; 17; 9}=10;

W₄(x₂)=min{14; 12; 10; 16}=10;

W₄(x₃)=min{12; 13; 14; 15}=12.

По формуле (10) получаем

W₆(x₁)= W₄(x₁) + (1-) W₁(x₁)=0.410 + (1 – 0.4)17=14.2;

W₆(x₂)= W₄(x₂) + (1-) W₁(x₂)= 0.410 + (1 – 0.4)16=13.6;

W₆(x₃)= W₄(x₃) + (1-) W₁(x₃)= 0.412 + (1 – 0.4)15=13.8.

При выбранном значении =0.4 лучшим оказался второй проект, так как значение критерия Гурвица при x₂ наименьшее из возможных.

Задача 3

Пусть две фирмы конкурируют на рынке. Первая фирма имеет четыре стратегии, вторая – три. Если первая фирма применяет стратегию i, i = {1,2,3,4}, а вторая – стратегию j, j ={1,2,3}, то первая получит выигрыш в размере f(i, j), а вторая проиграет ту же величину. Если выигрыш первой фирмы – отрицательное число, то это означает, что она проиграет такое количество условных денежных единиц, а вторая выиграет их. Функция f(i, j) задана в виде таблицы

3	7	-1
2	3	-2
-3	2	3
4	3	8

Если первая фирма применяет смешанную стратегию  и допускает осреднение критерия, то оценкой эффективности () этой стратегии в случае, когда стратегия у второй фирмы является неопределенным фактором, будет наименьшее (по у) из математических ожиданий (y_j), i= выигрыша первой фирмы при фиксированном неопределенном факторе y_i;. Имеем

(y₁)= ,

(y₂) =

(y₃)=

Следовательно,

()=min

Пусть теперь и первая, и вторая фирмы применяют смешанные стратегии, и первая фирма допускает осреднение при оценке критерия. Тогда оценка стратегии будет следующей:

Задача 4.

Пусть снова две фирмы конкурируют на рынке, первая фирма имеет три стратегии, а вторая – шесть. Если первая фирма применила i-ю стратегию, а вторая – j-ю стратегию, то первая фирма получает выигрыш F⁽¹⁾(i,j), а вторая - F⁽²⁾(i, j). Эти величины могут быть разные, и необязательно противоположные. Таким образом, в отличие от предыдущей задачи вторая фирма стремится максимизировать свою функцию выигрыша, а не минимизировать функцию выигрыша первой. Пусть функции выигрышей каждой из фирм заданы в виде матриц.

F⁽¹⁾= F⁽²⁾=

Пусть в качестве оперирующей стороны выступает первая фирма, и пусть она знает матрицу выигрышей F⁽²⁾ второй фирмы, а вторая фирма знает стратегию, выбранную первой. Так как вторая фирма стремится максимизировать свой выигрыш, а не максимально снизить выигрыш первой фирмы, то первой фирме нецелесообразно выбирать свою стратегию из принципа гарантированного результата. Первая фирма может «вычислить» действия второй в ответ на каждое свое действие.

Если оперирующая сторона выбирает первую стратегию, то вторая фирма выбирает стратегию "4", дающую выигрыш равный 4. В этом случае выигрыш ОС будет равен также 4. Если же ОС выбирает вторую стратегию, то вторая фирма, максимизируя свой выигрыш, выберет первую. Выигрыш ОС в этом случае будет равен 5. Пусть, наконец, ОС выберет третью стратегию, тогда вторая фирма вновь выберет первую. Выигрыш ОС будет равен 5. Итак, получены следующие оценки стратегий первой фирмы: W(1)=4, W(2)=5, W(3)=5, следовательно, ОС может выбирать либо вторую, либо третью стратегию.

Задача 5.

Решим задачу из примера 5 раздела 2.2.2 в случае, когда вероятности величин спроса на булочки неизвестны. В этом случае спрос является неопределенным фактором. Для решения воспользуемся полученной в примере таблицей значений целевой функции. Напомним, что ОС стремится максимизировать целевую функцию F(x, z).

Для оценки эффективности стратегии по критерию наилучшего гарантированного результата необходимо воспользоваться формулой (3). В соответствии с этой формулой получим следующие оценки:

W₁(x₁)=min{2400; 2400; 2400; 2400; 2400}=2400;

W₁(x₂)=min{1900; 3600; 3600; 3600; 3600}=1900;

W₁(x₃)=min{1400; 3100; 4800; 4800; 4800}=1400;

W₁(x₄)=min{900; 2600; 4300; 6000; 6000}=900;

W₁(x₅)=min{400; 2100; 3800; 5500; 7200}=400.

Наибольшее значение оценка принимает при x= x₁, следовательно, по рассматриваемому критерию необходимо закупать 100 булочек.

По критерию Лапласа в соответствии с формулой (4) получаем следующие оценки

W₂(x₁)=(2400+2400+2400+2400+2400)1/5=2400;

W₂(x₂)=(1900+3600+3600+3600+3600)1/5=3260;

W₂(x₃)=(1400+3100+4800+4800+4800)1/5=3780;

W₂(x₄)=(900+2600+4300+6000+6000)1/5=3960;

W₂(x₅)=(400+2100+3800+5500+7200)1/5=3800.

Наибольшее значение критерия достигается при x=x₄. По критерию Лапласа нужно закупать 250 булочек.

Для определения количества закупаемых булочек по критерию Сэвиджа, вычислим функцию сожаления по формуле (5), так как задача на максимум целевой функции. Запишем функцию сожаления в виде таблицы.

Таблица значений функции сожаления (x,z)

	Значения z
x	z=100	z=150	z=200	z=250	z=300
100	0	1200	2400	3600	4800
150	500	0	1200	2400	3600
200	1000	500	0	1200	2400
250	1500	1000	500	0	1200
300	2000	1500	1000	500	0

Здесь: (100; 100)= F( ; 100) – F(100; 100)=

=max{2400; 1900; 1400; 900; 400} – 2400= 2400 – 2400=0;

(150; 100)= max{2400; 1900; 1400; 900; 400} – 1900=500;

и т.д. В каждом столбце находим максимальный элемент, затем значение функции сожаления в этом столбце равно разности максимального элемента столбца и соответствующего значения целевой функции. Далее по критерию наилучшего гарантированного результата для задачи минимизации функции сожаления получаем оценки:

W₃(x₁)=max{0; 1200; 2400; 3600; 4800}=4800;

W₃(x₂)=max{500; 0; 1200; 2400; 3600}=3600;

W₃(x₃)=max{1000; 500; 0; 1200; 2400}=2400;

W₃(x₄)=max{1500; 1000; 500; 0; 1200}=1500;

W₃(x₅)=max{2000; 1500; 1000; 500; 0}=2000.

Минимальное значение критерия достигается при x = x₄, следовательно, по критерию Сэвиджа нужно закупать 250 булочек.

Найдем лучшую стратегию по критерию Гурвица при =0.2. Сначала необходимо получить оценки по критерию крайнего оптимизма (формула(9)):

W₄(x₁)=max{2400; 2400; 2400; 2400; 2400}=2400;

W₄(x₂)=max{1900; 3600; 3600; 3600; 3600}=3600;

W₄(x₃)=max{1400; 3100; 4800; 4800; 4800}=4800;

W₄(x₄)=max{900; 2600; 4300; 6000; 6000)=6000;

W₄(x₅)=max{400; 2100; 3800; 5500; 7200}=7200.