Так в примере с поездкой на работу f1 отвечает качественной цели «не опоздать на работу», а f2 – количественной «стоимость поездки».

В соответствии с двумя видами целей можно выделить два вида целевой функции:

качественная функция, в нашем примере f₁(x,y,z). Для качественной цели можно положить f₁(x,y,z)=1, если цель выполнена (не опоздал на работу) и f₁(x,y,z)=0, если цель не выполнена (опоздал на работу);

количественная функция, в нашем примере f₂(x,y,z) – стоимость поездки.

ОС обычно сталкивается с необходимостью выбора конкретного способа действий из некоторого множества вариантов. Когда цель определена, оптимальным считается такой способ действий, который в большей степени способствует достижению этой цели. Для целевой функции операции это будет выбор такого значения xX, которое доставляет наибольшее (например, в случае прибыли) или наименьшее (например, в случае затрат) значение из всех возможных.

Итак, операция предполагает наличие цели, множества контролируемых факторов и множества неконтролируемых факторов.

Определение 7. Математической моделью операции называется набор

(1)

Отсутствие тех или иных неконтролируемых факторов будем обозначать пустотой соответствующего множества (например ).

В модели операции множество X не может быть пустым, более того, оно должно содержать не меньше двух элементов, в противном случае, у ОС не будет выбора и, следовательно, не будет необходимости в привлечении математического аппарата для принятия решения. Также обязательным в модели операции является наличие целевой функции.

В теории принятия решений различают следующие варианты наличия различных неконтролируемых факторов:

1) = – принятие решения в условиях определенности;

2) ,  – принятие решения в условиях неопределенности;

3) ,  – принятие решения в условиях риска;

4) ,  – принятие решения в условиях риска и неопределенности.

Нужно иметь в виду, что математическая модель, как и всякая модель, огрубляет действительность, выделяя существенные факторы и основные зависимости. Соответственно, и получаемое решение учитывает только эти факторы и зависимости.

Определение 8. Информация, которой располагает ОС к моменту принятия решения, называется информационной гипотезой (ИГ).

Так, ОС может быть известно только множество значений неконтролируемых факторов. В общем случае ИГ сужает множество значений неконтролируемых факторов до некоторого подмножества _ множества . Возможно, что к началу операции ОС становится известно, что неконтролируемый фактор примет конкретное значение . В этом случае множество _ состоит из единственной точки .

Определение 9. Стратегиями ОС называются способы действия, соответствующие информационной гипотезе.

Определение 10. Стратегией-константой ОС называется любой элемент x из множества X.

Такие стратегии применяются, например, когда отсутствует какая-либо дополнительная информация о неконтролируемых факторах кроме самого множества .

Определение 11. Позиционной стратегией ОС является функция

, (2)

которая каждому значению неконтролируемых факторов из множества ставит в соответствие контролируемый фактор

.

Применение позиционной стратегии допустимо, когда ОС перед началом операции становится известно значение неконтролируемых факторов.

Рассмотрим следующий пример. Пусть фермер приехал на оптовый рынок с некоторым набором товаров. Операция состоит в продаже товаров с целью получения максимальной выручки. Контролируемые факторы – цены на свои товары (x – вектор цен). Неконтролируемые факторы – цены на аналогичные товары у конкурентов (y – вектор цен конкурентов).

Рассмотрим далее две из всех возможных ИГ:

1. фермер не имеет информации о ценах конкурентов;

2. фермер предполагает, что узнает цены на интересующие его товары.

В первом случае он выбирает стратегии-константы, независящие от неконтролируемых факторов. Во втором он определяет функцию , которая каждому значению цен конкурентов y ставить в соответствие свои цены . В этом случае его стратегии позиционные, то есть являются функциями от неконтролируемых факторов. Отметим, что среди всех функций вида (2) есть и функции константы

где xX одно и тоже для любых (y,z)YZ.

В общем случае ИГ сужает область значений неконтролируемых факторов. Так, например, могли быть известны только интервалы цен на аналогичные товары, а не сами цены.

Определение 12. Смешанной стратегией ОС является распределение вероятностей на множестве X стратегий-констант.

Другие смешанные стратегии здесь рассматриваться не будут. Если X={x₁,…x_n} – конечное множество, то смешанная стратегия есть вектор p=(p₁,…, p_n), где p_i вероятность выбора стратегии x_i, i .Так как p_i вероятности, то p_i 0, i и

На множествах X, например отрезке, где невозможно задать вероятность выбора каждой стратегии х X, смешанная стратегия задается функцией распределения вероятностей. Например,

F(x) = O x a, F(x) = , F(x)=l x b —

закон равномерного распределения на отрезке [a;b].

Итак, смешанная стратегия - это стратегия, которая строится ОС с привлечением механизма случайного выбора. Например, человек бросает монету, чтобы определить, каким видом транспорта (троллейбус или автобус) он поедет. В данном случае смешанная стратегия есть задание вероятности (по 0.5) на двух стратегиях-константах («поехать на троллейбусе», «поехать на автобусе»).

Применение смешанных стратегий при многократном повторении операции обосновывается двумя положениями, Во-первых, математическое ожидание выигрыша ОС будет не меньше, чем при использовании стратегий-констант, так как любую стратегию-константу можно представить смешанной стратегией, при которой вероятность выбора х равна 1, а вероятность выбора других стратегий х X равна нулю. Во-вторых, на множестве смешанных стратегий оптимальная стратегия существует чаще, чем на множестве стратегий-констант.

Стратегии, не являющиеся смешанными, будем называть чистыми, то есть в чистых стратегиях не участвует механизм случайного выбора. В частности, чистыми стратегиями являются стратегии-константы и позиционные стратегии. Смешанные стратегии, как и чистые, соответствуют ИГ операции.

Обычно применение смешанных стратегий ОС может быть реализовано, например в случае конечного числа стратегий, при многократном повторении операции в виде частоты выбора той или иной чистой стратегии. В этом случае частота выбора чистой стратегии заменяет вероятность выбора этой стратегии.

Пример 1. В течение одного месяца колхоз (далее ОС) может продавать на рынке коз и капусту. Для перевозки товара на рынок имеется один грузовик. В один рейс он может взять либо коз, либо капусту. Покупательский спрос ОС неизвестен, однако известно, что он может принимать только два значения: в первом случае требуется две козы и три тонны капусты; во втором случае – восемь коз и одна тонна капусты. У ОС имеются только две чистые стратегии: первая – везти коз, вторая – везти капусту. Прибыль ОС в условных денежных единицах в зависимости от выбранной стратегии и покупательского спроса представлена в матрице А, где первая и вторая строки соответствуют первой и второй стратегиям ОС, а первый и второй столбцы – первому и второму значениям покупательского спроса. Так, величина а₁₂=2 есть прибыль ОС в случае применения им первой стратегии, т. е. везти коз, и при втором значении покупательского спроса. Примером смешанной стратегии ОС

будет следующая: р – вероятность того, что повезут капусту, а (1-р)- вероятность того, что повезут коз.

А=

Одним из способов реализации этой смешанной стратегии при р=3/4 в течение 28 дней может быть следующий: 21 день возят капусту и 7 дней возят коз.

Еще одним примером реализации смешанной стратегии является «интенсивность производства».

Пример 2. Оперирующая сторона (ОС) – руководство швейной фабрики решает зимой проблему: шить к лету длинные юбки (первая стратегия) или короткие (вторая стратегия). Если сошьют длинные юбки, и они будут модными, то прибыль составит 10 ед. Если сошьют длинные, а модными окажутся короткие юбки, то убытки составят 8 ед. Аналогично при выборе второй стратегии: мода на длинные юбки приведет к убытку в 9 ед., а мода на короткие приведет к прибыли в 15 ед. Как и в предыдущем примере, результаты деятельности могут быть представлены в виде матрицы

А

Здесь первая строка матрицы соответствует выбору ОС первой стратегии, а вторая – второй стратегии ОС. Первый столбец соответствует моде на

=

длинные юбки, а второй – на короткие. Реализуя смешанную стратегию, ОС может принять решение шить долю р от общего количества длинных юбок и долю (1-р) коротких.