4. Методы расчета сводных характеристик выборки

Наблюдаемые значения признаков у однородных объектов варьируют от одного объекта к другому и представляют собой случайные (стохастические) величины. Следовательно, значения, которые принимает случайная величина, связаны в научном исследовании с теми или иными вероятностями. Эти вероятности при определенных обстоятельствах могут быть либо рассчитаны заранее, либо определяются в процессе повторяющихся наблюдений, если общий комплекс условий остается неизменным.

Одна из основных задач математической статистики – выяснить варьируют ли в данных конкретных условиях наблюдаемые признаки совершенно случайно или к этому имеются какие-то определенные причины, так что вероятности значений признаков нельзя считать постоянными. Чтобы быть в состоянии высказывать точные суждения по данным и другим вопросам, математическая статистика опирается на теорию вероятностей.

В частности, используют ряд вероятностных характеристик выборочного ряда, из которых путем соответствующих преобразований делают выводы о характеристиках генеральной совокупности.

1. Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты

Часто в качестве параметров распределения вероятностей наблюдаемых значений признака рассматриваются моменты распределения (или функции от них). Моменты являются важными вероятностными характеристиками распределения.

Определяются два момента: начальный момент (а₁), который по сути является математическим ожиданием распределения, относительно которого вычисляется второй момент, называемый центральным моментом b₂, и по сути являющийся дисперсией.

Определение этих параметров аналогичны определениям соответствующих параметров теории вероятностей, но в отличие от них вычисляются по данным наблюдений.

Обычным эмпирическим моментом порядка k называют среднее значение k-х степеней разностей (x_i – C):

где x_i - значение (вариант) i-ой реализации наблюдаемой величины; m_i – частота реализации данного значения; n = ∑m_i - объем выборки, С – некоторое постоянное число, s – количество реализаций наблюдаемой величины.

Начальным эмпирическим моментом порядка k называют обычный момент порядка k при С=0

В частности, при k=1 имеем

т.е. начальный эмпирический момент первого порядка равен выборочной средней (аналог математического ожидания)..

Центральным эмпирическим моментом порядка k называют обычный момент порядка k при

В частности, при k=1 имеем (1*)

т.е. центральный эмпирический момент второго порядка равен выборочной дисперсии (аналог дисперсии).

Центральные моменты легко выражаются через обычные :

(1**)

(1***)

2. Условные эмпирические моменты. Отыскание центральных

моментов по условным

Определение центральных моментов требует довольно громоздких вычислений. Чтобы упростить расчеты, заменяют первоначальные моменты условными.

Условным эмпирическим моментом порядка k называют начальный момент порядка k, вычисленный для условных вариант (реализаций признака x_i):

В частности

Отсюда (2*)

Таким образом, для того, чтобы вычислить выборочную среднюю, достаточно вычислить условный момент первого порядка, умножить его на h и к результату прибавить постоянную С.

Выразим обычные моменты через условные:

Отсюда

Таким образом, для того, чтобы найти обычный момент порядка k, достаточно условный момент того же порядка умножить на h_k.

Найдя обычные моменты, легко найти центральные моменты по равенствам (1**) и (1***). В итоге получим удобные для вычислений формулы, выражающие центральные моменты через условные:

(2**)

(2***)

В частности, в силу (1**) и соотношения (1*) получим формулу для вычисления выборочной дисперсии по условным моментам первого и второго порядков (2****)

Моменты – очень важные характеристики распределения. Они намного проще функции распределения – это просто числа, но знание их дает очень много информации о распределении. Первый начальный момент (мат.ожидание) – это средняя точка распределения, тот «центр», вокруг которого все распределено. Второй центральный момент (дисперсия), характеризует разброс вокруг математического ожидания. Третий центральный момент, деленный на третью степень среднеквадратического отклонения – асимметрия, характеризует асимметрию распределения. Если он не равен нулю, то распределение несимметрично относительно своего центра. Четвертый центральный момент, деленный на четвертую степень среднеквадратического отклонения – эксцесс, характеризует «плосковершинность» распределения и т.д.

8. Доверительный интервал: его смысл, графическое представление. Нормальное распределение: плотность распределения вероятностей, «правило трех σ».