1. Выборка без расчленения генеральной совокупности.

Простой случайный отбор – это отбор, при котором объекты выборки случайным образом по одному извлекаются из всей генеральной совокупности. Осуществить случайный отбор можно различными способами.

Например, все объекты генеральной совокупности нумеруют, номера записывают на отдельные карточки, карточки перемешивают и выбирают наугад. Объект, номер которого совпал с номером на карточке, считается попавшим в выборку. Операцию повторяют до тех пор, пока не наберется нужный объем выборки. При этом:

- если случайно отобранная карточка возвращается обратно в общую совокупность, и, следовательно, раз отобранный в выборку объект может быть отобран повторно, то имеет место выборка повторная или выборка с возвратом;

- если отобранная карточка и, следовательно, отобранный в выборку объект назад не возвращается, то осуществляется выборка бесповторная или выборка без возврата.

При большом объеме генеральной совокупности данная процедура оказывается весьма трудоемкой. В этом случае вместо перемешивания карточек, можно использовать таблицы «случайных чисел». Их можно найти в большинстве книг по статистике. Открывают любую страницу таблицы и выписывают подряд n чисел. Объекты, номера которых совпадает с выписанными случайными числами, попадают в выборку. Таких таблиц сейчас издано много; разработаны программы для ЭВМ – генераторы случайных чисел.

Следует заметить, что если в выборке с возвратом испытания независимы, то в выборке без возврата испытания уже зависимы. Для демонстрации разницы между этими схемами рассмотрим простейший пример.

Пример 1.3. В урне n белых и m черных шаров. Наугад вынимаем два шара. Пусть событие А₁ –{первый шар белый}, А₂ – {второй шар тоже белый}.

а) выборка с возвратом:

б) выборка без возврата:

Для того, чтобы найти вероятность р(А₂), определим событие В₁ – {первый вынутый шар – черный} и воспользуемся формулой полной вероятности:

р(А₂) = р(А₁)∙р(А₂/А₁)+р(В₁)∙р(А₂/В₁) =

Заметим, что в данном случае р(А₂/А₁) =

Таким образом, для выборки с возвратом вероятность во втором испытании вытащить белый шар такая же, как и в первом испытании: условная вероятность совпадает с безусловной, следовательно, испытания независимы. Для выборки без возврата вероятность во втором испытании вытащить белый шар такая же, как и в первом испытании, но независимости испытаний уже нет. Легко видеть, что если n и m велики, то зависимость испытаний является слабой. Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается.

2) Выборка с расчленением генеральной совокупности.

а) типическим называют отбор, при котором объекты в выборку отбираются не из всей генеральной совокупности, из каждой её типической части. Например, если детали изготавливаются на нескольких станках, то отбор производится не из всей генеральной совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности.

б) механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку. Например, если нужно отобрать 20% изготовленных цехом деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если требуется отобрать 5% деталей, то отбирают каждую двадцатую деталь, и т.д.

в) серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из всей генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготавливаются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию только продукцию нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно.

На практике часто применяют комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы. Например, иногда генеральную совокупность разбивают на серии одинакового размера, затем простым случайным отбором выбирают несколько серий и, наконец, из каждой серии простым отбором извлекают отдельные объекты.

Примером организации такого репрезентативного отбора может служить в, частности, метод, который был применен в Англии при проведении обследования рациона питания среднего англичанина. Выборка извлекалась методом трехступенчатого отбора. На первом этапе было отобрано 50 избирательных округов. Затем из них было отобрано некоторое количество избирательных участков. На третьем – некоторое количество семей внутри этих участков. На каждом этапе отбор был строго случайным.

В дальнейшем будем предполагать, что требование репрезентативности выборки выполнено, испытания независимы и будем обсуждать только вопросы обработки выборочных данных.