§ 5. Основная теорема алгебры и её следствия

Теорема (основная теорема алгебры). Поле C комплексных чисел алгебраически замкнуто.

Доказательство. По теореме об условиях, эквивалентных алгебраической замкнутости, достаточно доказать, что любой многочлен f(z) = a_nzⁿ+…+a₁z+a₀  C[x] степени n > 0 имеет хотя бы один комплексный корень. При этом можно считать, что n  3 (почему?!).

Запишем все коэффициенты и переменную в алгебраической форме а_k = b_k + ic_k (0  k  n), z = х + iy, подставим эти выражения в многочлен и раскроем скобки. В результате получим f(x+iy) = g(x, y) + ih(x, y) , где g(x, y) и h(x, y) – многочлены от двух переменных с действительными коэффициентами, степень каждого из которых равна n .

Пример: Для f(z) = (2+3i)z³–(1–i)z+5i имеем

f(x+iy) = (2+3i)(x+iy)³–(1–i)(x+iy)+5i = (2+3i)(x³+3ix²y–3xy²–iy³)–(1–i)(x+iy)+5i =

= (2+3i)(x³–3xy²+i(3x²y–y³))–(x+iy–ix+y)+5i =

= 2x³–6xy²+2i(3x²y–y³)+3i(x³–3xy²)–3(3x²y–y³)–x–y–i(y–x)+5i =

= (2x³–6xy²–9x²y+3y³–x–y) + i(6x²y–2y³+3x³–9xy²–y+x+5).

Таким образом, g(x, y) = 2x³–6xy²–9x²y+3y³–x–y , h(x, y) = 6x²y–2y³+3x³–9xy²–y+x+5.

Рассмотрим теперь модуль величины f(z) = f(x+iy) = g(x, y) + ih(x, y). Поскольку |f(z)| = |f(x+iy)| = и многочлены g(x, y) и h(x, y) являются непрерывными вещественными функциями от двух аргументов, то |f(х+iy)| также является непрерывной вещественной функцией от двух аргументов х, у (как функция, полученная из непрерывных с помощью непрерывных операций возведения в квадрат и извлечения квадратного корня). При доказательстве теоремы будем пользоваться следующим известным из курса анализа фактом: всюду определённая непрерывная вещественная функция от двух аргументов имеет точку минимума в любом круге х² + у²  R² (значение функции в этой точке меньше или равно значению в любой другой точке круга). Эта точка минимума, вообще говоря, может находиться на границе круга.

Допустим теперь, вопреки доказываемому, что многочлен f(z) не имеет корней в С. Тогда его модуль |f(z)| = |f(x+iy)| не обращается в нуль на всей плоскости (при любых значениях х, у), но достигает минимума в любом круге |z|  R. Найдём такое большое  > 0, чтобы > 2|f(0)| и было выполнено заключение леммы об асимптотическом поведении многочлена, т.е.  z  C |z| >   |f(z)|  . Тогда для любой точки z вне круга |z|   будет верно неравенство |f(z)|  > > 2|f(0)| . Ввиду непрерывности функции |f(z)| , неравенство |f(z)|  2|f(0)| > |f(0)| будет справедливо, даже если т. z лежит на границе круга (почему ?!). Как отмечалось выше, в выбранном круге непрерывная функция |f(z)| имеет точку минимума z = z₀, причём эта точка не лежит на границе круга, поскольку значение |f(0)| меньше значения в любой граничной точке. Значит существует окружность достаточно малого радиуса r с центром в т. z₀ , целиком лежащая в выбранном круге |z|   . По лемме Даламбера, в круге |z – z₀|  r найдётся точка u  C со свойством |f(u)| < |f(z₀)| вопреки выбору т. z₀  C . Полученное противоречие завершает доказательство основной теоремы алгебры.

Следствие 1 (о неприводимых многочленах над полем С). Любой неприводимый многочлен над полем С имеет вид (х – ) , где  ,   С ,   0.

Это получается из теоремы об условиях, эквивалентных алгебраической замкнутости.

Следствие 2 (о разложении многочлена над полем С на линейные множители). Любой многочлен f(x) = a_nxⁿ+…+a₁x+a₀  С[x] степени n > 0 можно представить в виде f(x) = а_n(x – ₁)…(x – _n) , где ₁ , … , _n – его корни.

Следствие вытекает из доказанной ранее теоремы о корнях многочлена или из предыдущего следствия и теоремы о разложении многочлена в произведение неприводимых.

Опишем теперь неприводимые многочлены над полем действительных чисел.

Следствие 3 (о неприводимых многочленах над полем R). Любой неприводимый многочлен над полем R либо имеет вид (х – ) , где  ,   R ,   0 , либо – (х²+х+), где  , ,   R ,   0 и D = ² – 4 < 0.

Доказательство. Если р(х) = a_nxⁿ+…+a₁x+a₀ – неприводимый многочлен над полем R , степень которого больше единицы, то по предыдущему следствию, он представим в виде р(x) = а_n(x – ₁)…(x – _n) , где ₁ , … , _n – его комплексные корни, среди которых нет вещественных (?!). Докажем, что комплексно сопряжённые числа тоже являются его корнями. В самом деле, т.к. a_n_iⁿ+…+a₁_i+a₀ = 0 и а_k  R (0  k  n), то = p( ) , что и требовалось. Таким образом, все корни многочлена р(х) разбиваются на пары {_i , }, состоящие из комплексно сопряжённых чисел. Рассмотрим теперь произведение соответствующих линейных двучленов: (x – _i)(x – ) = x² – (_i+ )x+_i . Это квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом (почему ?!), на который делится нацело многочлен p(x). Поскольку р(х) не имеет нетривиальных делителей в кольце R[x], то р(х) пропорционален любому такому квадратному трёхчлену, т.е. он имеет всего лишь два комплексных корня.

Следствие 3 доказано.

Следствие 4 (о разложении многочлена над полем R). Любой многочлен f(x) = a_nxⁿ+…+a₁x+a₀  R[x] степени n > 0 можно представить в виде произведения f(x) = а_n(x – ₁)…(x – _k)(x²+₁x+₁)…(x²+_mx+_m), где ₁ , … , _k – его вещественные корни, а все квадратные трёхчлены имеют вещественные коэффициенты и отрицательные дискриминанты (случаи отсутствия либо линейных множителей, либо квадратных трёхчленов не исключаются).

Доказательство сразу вытекает из предыдущего следствия и теоремы о разложении многочленов в произведение неприводимых.

Следствие 5 (о многочлене с заданными корнями над полем R). Пусть заданы попарно различные числа ₁ , … , _k  R , ₁ , … , _m  C \ R . Тогда многочлен f(x) = = (x – ₁)…(x – _k)(x – ₁)(x – )…(x – _m)(x – ) , будет многочленом наименьшей степени над полем R , корнями которого являются заданные числа.

Доказательство. То, что многочлен f(x) имеет вещественные коэффициенты, следует из того, что каждое произведение (x – _i)(x – ) – квадратный трёхчлен над R . Если теперь g(x) – любой другой многочлен с действительными коэффициентами и заданными корнями, то он делится на (x – ₁)…(x – _k) и на простые многочлены над R , имеющие корнями каждое _i (1  i  m), т.е. на неприводимые многочлены (x – _i)(x – )  R[x]. Итак, f(x) | g(x) , и значит, d(f)  d(g) , что и требовалось доказать.