§ 4. Лемма Даламбера

Лемма (Даламбера). Пусть f(z) = a_nzⁿ+a_n–1z^n–1+…+a₁z+a₀  С[z] – многочлен степени n > 0 . Тогда для любого комплексного числа z₀ либо f(z₀) = 0, либо в любом достаточно малом круге |z – z₀|   с центром в т. z₀ , найдётся точка u  С с условием |f(u)| < |f(z₀)| . В частности, минимум модуля многочлена (если таковой существует) достигается только в его корнях.

Доказательство. Вначале сделаем некоторые косметические преобразования, чтобы упростить вид многочлена. Прежде всего, можно считать, что z₀ = 0. Действительно, разложим данный многочлен по степеням двучлена z – z₀ : f(z) = r_n(z – z₀)ⁿ+…+r₁(z – z₀)+r₀ и рассмотрим поведение многочлена r(z) = f(z+z₀ ) = r_nzⁿ+…+r₁z+r₀ в окрестности точки z = 0. Если для этой ситуации лемма уже доказана, то либо r(0) = 0, либо в любом достаточно малом круге |z|   с центром в т. 0 существует точка u с условием |r(u)| < |r(0)| . В первом случае f(z₀) = r₀ = r(0) = 0, а во втором – для достаточно малого круга |z – z₀|   с центром в т. z₀ в его точке u+z₀ будет выполнено неравенство |f(u+z₀)| = |r(u)| < |r(0)| = = |r₀| = |f(z₀)| . Итак, можно сразу считать, что z₀ = 0 .

Во-вторых, можно считать, что а₀ = f(0)  0, т.к. иначе нечего доказывать. Пусть g(z) = a₀^–1f(z) = 1+ – многочлен, принимающий в нуле значение 1. Если для него лемма доказана, то в любом достаточно малом круге |z|   с центром в т. 0 существует точка u с условием |g(u)| < |g(0)| = 1. Поэтому для исходной функции f(z) и заданного достаточно малого круга |z|   с центром в т. 0 можно найти    и соответствующую точку u из круга |z|  . Тогда точка u, очевидно, лежит в круге |z|  , причём |f(u)| = |a₀g(u)| = |a₀||g(u)| < |a₀| = |f(0)| . Таким образом, сразу можно предполагать, что f(0) = a₀ = 1.

Далее, вглядимся пристальнее в коэффициенты многочлена f(z): запишем его в виде f(z) = 1+a_kz^k+…+a_nzⁿ , выделив первый ненулевой коэффициент а_k после а₀ (такой обязательно существует, т.к. а_n  0). Поскольку из любого комплексного числа можно извлечь корень k-й степени, можно считать, что а_k = b ^k для некоторого ненулевого комплексного числа b и переписать многочлен: f(z) = 1+a_kz^k+…+a_nzⁿ = 1+(bz)^k+ . Вместо f(z) теперь можно рассмотреть многочлен g(z) = 1+z^k+ , связанный с исходным соотношением f(z) = g(bz) и имеющий коэффициент 1 при z^k. Если для него лемма доказана, то (т.к. g(0) = 1) в любом достаточно малом круге |z|   с центром в т. 0 существует точка u с условием |g(u)| < 1. Тогда для исходного многочлена f(z) и достаточно малого круга |z|   можно найти   |b| и соответствующую точку u из круга |z|  . При этом точка лежит в круге |z|   , т.к. = =  и |f( )| = |g(и )| = |g(u)| < 1 . Итак, можно сразу считать, что a_k = 1.

Если оказалось, что k = n, то f(z) = 1 + zⁿ и доказательство леммы очень простое: по заданному радиусу  < 1 круга |z|   образуем комплексное число u = (т.е. возьмём любое из n решений уравнения uⁿ = –), очевидно лежащее в этом круге (почему ?!). Тогда f(u) = 1 + uⁿ = 1 –  < 1.

В общей ситуации можно считать, что k < n и попытаться реализовать идею только что рассмотренного частного случая. Постараемся уменьшить влияние дополнительных членов a_k+1u^k+1+…+a_nuⁿ за счёт выбора очень малого радиуса круга. Итак, пусть число r настолько мало, что 0 < r < 1  |a_k+1|r <  |a_k+2|r² <  …  |a_n|r^n–k < (накладываемое условие |a_k+s|r^s < тривиально выполняется в случае a_k+s = 0). Докажем, что в любом круге |z|    r найдётся точка u со свойством |f(u)| < 1. Действительно, если |u|  , то

|f(u)| = |1+u^k+a_k+1u^k+1+…+a_nuⁿ|  |1+u^k| + |a_k+1||u|^k+1+…+|a_n||u|ⁿ =

= |1+u^k| + |u|^k(|a_k+1||u|¹ + … + |a_n||u|^n-k)  |1+u^k| + |u|^k(|a_k+1|r¹+ … +|a_n|r^n-k) <

< |1+u^k| + |u|^k( ) = |1+u^k| + |u|^k ,

где 0 <  = < 1 (почему ?!). Пусть теперь u = . Тогда |f(u)| < < |1+u^k| + |u ^k | = |1 – | +  = {   r < 1 *} = 1 –  +  = 1 – (1–) < 1, что и требовалось доказать.

Лемма Даламбера полностью доказана.