Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Тобольский государственный педагогический институт

имени Д.И. Менделеева”

Кафедра алгебры и геометрии

Валицкас А.И.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО АЛГЕБРЕ:

ПРОСТЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НАД ПОЛЯМИ Q , R , C

Тобольск 2005

С О Д Е Р Ж А Н И Е

	§ 1. Алгебраически замкнутые поля . . . . .	3
	§ 2. Многочлены нечётной степени над R . . . .	4
	§ 3. Лемма о модуле старшего члена . . . .	5
	§ 4. Лемма Даламбера . . . . . . .	7
	§ 5. Основная теорема алгебры и её следствия . . .	8
	§ 6. Неприводимые многочлены над полем Q . . .	10

§ 1. Алгебраически замкнутые поля

Поле F называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен положительной степени над F имеет хотя бы один корень в F.

Примеры: 1. Поля Q , R не являются алгебраически замкнутыми, т.к. многочлен х² + 1 с целыми коэффициентами не имеет ни одного корня в R , а тем более в Q.

2. Поле Z_p из р элементов тоже не является алгебраически замкнутым, т.к. многочлен х^р – х + 1 не имеет корней в Z_p (почему ?!).

Основная задача данной главы состоит в доказательстве алгебраической замкнутости поля С комплексных чисел. Вначале проясним смысл понятия алгебраической замкнутости в общем случае.

Теорема (об условиях, эквивалентных алгебраической замкнутости поля). Следующие условия для поля F эквивалентны:

(1) поле F алгебраически замкнуто,

(2) любой многочлен f(x)  F[x] положительной степени раскладывается в произведение линейных множителей: f(x) = c(x – ₁) … (x – _n), где с  F \ {0}, ₁ , … , _n  F,

(3) множество неприводимых многочленов над полем F состоит из линейных многочленов вида с(х – ) , где с  F \ {0},   F.

Доказательство. Схема .

(1)  (2). Пусть поле F алгебраически замкнуто, и f(x)  F[x]. Проведём индукцию по степени n многочлена f(x). Если n = 1, то f(x) = f₁x + f₀ = f₁(x + f₁ ^–1f₀) – искомое разложение (почему f₁  0 ?!). Таким образом, обоснована база индукции.

Предположим, что утверждение (2) доказано для всех многочленов степени k  N , и докажем его для многочлена f(x) степени n = k + 1. По условию (1), у многочлена f(x) в поле F есть корень ₁  F. По теореме Безу f(x) = (x – ₁)g(x) для некоторого многочлена g(x)  F[x] степени k. По предположению индукции, многочлен g(x) записывается в виде g(x) = c(x – ₂)…(x – _n), где с  F \ {0}, ₂ , … , _n  F. Значит, f(x) = c(x – ₁)…(x – _n), что и требовалось.

(2)  (3). Пусть каждый многочлен положительной степени над полем F раскладывается в произведение линейных. Тогда это верно и для любого неприводимого многочлена р(х) : р(x) = c(x – ₁)…(х – _n). Однако, неприводимый многочлен, по определению, не может раскладываться в произведение нетривиальных множителей. Следовательно, такое разложение обязано быть тривиальным, т.е. р(x) = c(x – ₁), где с  F \ {0}, ₁  F.

(3)  (1). Пусть каждый неприводимый многочлен над полем F имеет вид c(x – ), где с  F \ {0},   F. Тогда, по теореме о разложении многочлена над полем в произведение неприводимых, любой многочлен f(x) положительной степени разлагается в произведение f(x) = c(x – ₁) … (х – _n), где с  F \ {0}, ₁ , … , _n  F. Очевидно, что ₁ , … , _n – корни многочлена f(x) в поле F. Теорема доказана.

Упражнение: Доказать, что следующие множества являются полями относительно обычных операций сложения и умножения в поле С. Будут ли они ал­геб­ра­ически замкнутыми ? Q[ ] = {a+b  R | a, b  Q}, Q[i] = {a+bi  C | a, b  Q}.