17. Транспортная задача

Транспортная задача (задача Монжа — Канторовича) — математическая задача линейного программирования специального вида о поиске оптимального распределения однородных объектов из аккумулятора к приемникам с минимизацией затрат на перемещение. Для простоты понимания рассматривается как задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления в пункты потребления, с минимальными затратами на перевозки. Транспортная задача потеории сложности вычислений входит в класс сложности P. Когда суммарный объём предложений (грузов, имеющихся в пунктах отправления) не равен общему объёму спроса на товары (грузы), запрашиваемые пунктами потребления, транспортная задача называется несбалансированной (открытой).

Используя метод минимальной стоимости построить начальное опорное решение транспортной задачи.

Решение:

1. Запишем отдельно матрицу стоимостей для того, чтобы было удобнее выбирать минимальные стоимости.

2. Среди элементов матрицы стоимостей выбираем наименьшую стоимость C₁₁=1, отмечаем ее кружочком. Данная стоимость имеет место при перевозке груза от 1-го поставщика 1-му потребителю. В соответствующую клетку записываем максимально возможный объем перевозки: x₁₁ = min {a₁; b₁} = min {60; 40} =40 т.е. минимум между запасами 1-го поставщика и запросами 1-го потребителя.

2.1. Запасы 1-го поставщика уменьшаем на 40. 2.2. Исключаем из рассмотрения 1-го потребителя, так как его запросы полностью удовлетворены. В матрице C вычеркиваем 1-ый столбец.

3. В оставшейся части матрицы C минимальной стоимостью является стоимость C₁₄=2. Максимально возможная перевозка, которую можно осуществить от 1-го поставщика 4-му потребителю равна x₁₄ = min {a₁'; b₄} = min {20; 60} = 20, где a₁ со штрихом это оставшиеся запасы первого поставщика. 3.1. Запасы 1-го поставщика исчерпаны, поэтому исключаем его из рассмотрения. 3.2. Запросы 4-го потребителя уменьшаем на 20.

4. В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость C₂₄=C₃₂=3. Заполняем одну из двух клеток таблицы (2,4) или (3,2). Пусть в клетку запишем x₂₄ = min {a₂; b₄} = min {80; 40} =40 . 4.1. Запросы 4-го потребителя удовлетворены. Исключаем его из рассмотрения вычеркивая 4-й столбец в матрице C. 4.2. Уменьшаем запасы 2-го поставщика 80-40=40.

5. В оставшейся части матрицы C минимальная стоимость C₃₂=3. Запишем в клетку (3,2) таблицы перевозку x₃₂ = min {a₃; b₂} = min {100; 60} =60. 5.1. Исключим из рассмотрения 2-го потребителя. Из матрицы C исключаем 2-ой столбец. 5.2. Уменьшим запасы 3-го поставщика 100-60=40

6. В оставшейся части матрицы C минимальная стоимость C₃₃=6. Запишем в клетку (3,3) таблицы перевозку x₃₃ = min {a₃'; b₃} = min {40; 80} =40 6.1. Исключим из рассмотрения 3-го поставщика, а из матрицы C 3-ю строку. 6.2. Определяем оставшиеся запросы 3-го потребителя 80-40=40.

7. В матрице C остался единственный элемент C₂₃=8. Записываем в клетку таблицы (2,3) перевозку X₂₃=40.

8. Проверяем правильность построения опорного решения. Число занятых клеток таблицы равно N=m+n — 1=3+4 -1. Методом вычеркивания проверяем линейную независимость векторов-условий, соответствующих положительным координатам решения. Порядок вычеркивания показан на матрице X:

Вывод: Решение методом минимальной стоимости (таблица 38.3) является "вычеркиваемым" и, следовательно опорным.