19.Показатели центра вариационного ряда, их определения.

К показателям центра распределения относятся средняя арифметическая, мода и медиана.

Под средней величиной понимают обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень признака и рассчитанный на единицу однородной совокупности.

Средняя арифметическая вычисляется по формулам:

(невзвеш) (взвеш)

Мода — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является вариант, обладающий наибольшей частотой.

где:

Мо — значение моды

Хо — нижняя граница модального интервала

h — величина интервала

f _m — частота модального интервала

f _m-1 — частота интервала, предшествующего модальному

f _m+1 — частота интервала, следующего за модальным

Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части. Центр упорядоченного вариационного ряда.

где:

• M_e — искомая медиана

• X₀ — нижняя граница интервала, который содержит медиану

• h — величина интервала

•  — сумма частот или число членов ряда

• S _m-1 - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному

• f_m — частота медианного интервала

Кроме моды и медианы могут быть использованы такие показатели, как квартили, делящие ранжированный ряд на 4 равные части, децили -10 частей и перцентили — на 100 частей.

Если Мо = Ме = Хср – то совокупность подчинена закону нормального распрделения

20.Вариационный ряд и его графическое изображение. Определение по графикам структурных характеристик.

Ряды распределения изображаются в виде:

•Полигона (используется для изображения дискретных вариационных рядов) Прдствляет собой замкнутый многоуольник, абсциссами вершин которого являются значения варьирующего признака, а ординатами – соот. или частоты или частости.

•Гистограммы (одна из разновидностей столбиковых диаграмм), применяется для изображения интревально-вариационного ряда, который представляет из себя столбики с основаниями равными по ширине интервалов, и высотой, соответ. Частоте.

•Кумуляты.( используется для графического изображения вариационных рядов. Изображается ряд накопленных частот за определенный промежуток времени.)

•Огивы - ломаная линия, соединяющая отрезки прямой, где ординаты – варианты, а абсциссы – накопленные частоты.

Первым этапом изучения вариационного ряда является его графическое изображение.Дискретный вариационный ряд изображается в виде так называемого полигона, или многоугольника, распределения частот, являющегося разновидностью статистических ломаных. Для изображения интервального ряда применяются полигонраспределения частот и гистограмма частот.

Строятся графики в прямоугольной системе координат. При построении полигона частот на оси абсцисс в одинаковом масштабе откладываются направо в порядке возрастания значения признака (для дискретного характера) или центральные значения интервалов (для интервальных рядов); по оси ординат наносится шкала для выражения величин частот. Из точек на оси абсцисс, соответствующих величине признака, восстанавливаются перпендикуляры высотой, соответствующей частоте; вершины перпендикуляров соединяются отрезками прямой. Крайние точки полученной ломаной соединяются с лежащими на оси абсцисс следующими (меньшими и большими) возможными, но фактически не наблюдающимися значениями признака, частота которых, очевидно, равна 0. Замкнутая с осью абсцисс ломаная линия представляет полигон распределения частот.

Для построения гистограммы по оси абсцисс откладывают величины интервалов, а частоты изображаются прямоугольниками, построенными на интервалах с высотой в масштабе оси ординат В случае неравенства интервалов гистограмма строится не по частотам или частостям, а по плотности распределения.

В ряде случаев для изображения вариационных рядов используется кумулятивная кривая (кумулята), она особенно удобна для сравнения вариационных рядов. Накопленные частоты наносятся на чертеж в виде ординат; соединяя вершины отдельных ординат прямыми, получают ломаную линию, которая, начиная с нуля, непрерывно поднимается над осью абсцисс, до тех пор пока не достигнет высоты, соответствующей общей сумме частот.

Если поменять местами оси координат в кумуляте, то получаем новый вид графического изображения - огиву.

При построении графических изображений вариационного ряда большое значение имеет соотношение масштабов по оси абсцисс (х) и оси ординат (f). В этом случае следует руководствоваться так называемым «правилом золотого сечения», в соответствии с которым высота графика должна быть примерно в два раза меньше его основания.

•Возрастающим графиком называется такой график, на котором возрастанию значений на оси X соответствует возрастание значений на оси Y.

•Убывающим графиком называется такой график, на котором возрастанию значений на оси Х, соответствует убывание значений на оси Y.

•Линейной функция называется, если одинаковым приращениям значения Х всегда соответствуют одинаковые приращения (положительные или отрицательные) значения Y.

•Линейные функции отличаются друг от друга углом наклона. Чем больше величина изменения значения Y для данного изменения в величине Х, тем угол наклона будет больше.

•Криволинейной функция называется в том случае, если при одинаковых изменениях величины Х, величина Y изменяется неодинаково.

•Если при последовательных, равных между собой, одинаковых приращениях значения Х приращения значения Y становятся с каждым разом все больше и больше, то такая кривая называется кривой с возрастающими приращениями.

•Если при последовательных, равных между собой, одинаковых приращениях значения Х, приращения значения Y становятся с каждым разом все меньше и меньше, то такая кривая называется кривой с убывающими приращениями.

•При помощи функций с постоянно возрастающими или убывающими приращениями, а также при помощи линейной функции можно провести интерполяцию и экстраполяцию изучаемого явления, так как определенным изменениям Х, будут соответствовать точно определенные изменения Y.

•Интерполяция – нахождение неизвестных промежуточных значений по известным значениям изменяющейся величины с помощью графика.

•Экстраполяция – нахождение неизвестных значений, которые или больше или меньше любого значения изменяющейся величины. •Экстраполировать – это значит продлить нанесенную на график линию в ту или иную сторону.

S-образная кривая, одни участки которой характеризуются возрастающими значениями прироста ординат, а другие участки – уменьшающимися значениями прироста ординат, в статистике получила название кривой огива.

•Если при возрастании значения Х значение Y все время или увеличивается или уменьшается, то такая функция называется монотонной функцией. Все приведенные выше примеры являются примерами монотонных функций.

•Если при возрастании значения Х, значение Y в некоторых интервалах увеличивается, а некоторых уменьшается, то такая функция называется немонотонной функцией.