 
        
        - •1.Умножение матрицы на число.
- •2.Сложение (вычитание) матриц.
- •4. Транспонирование матриц.
- •Определители квадратных матриц.
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
- •Скалярное произведение векторов.
- •3.Векторное произведение векторов.
- •5.Смешанное произведение векторов.
- •Прямая на плоскости.
- •Кривые второго порядка.
- •Введение в математический анализ.
- •Дифференциальное исчисление.
- •Односторонние пределы, непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация.
- •Производная сложной функции.
- •Интервалы монотонности, экстремум функции одной переменной. Выпуклость, вогнутость функции, точки перегиба.
- •Неопределенный интеграл.
- Неопределенный интеграл.
Функция 
 называется первообразной функции
называется первообразной функции 
 ,
если
,
если 
 .
Например, для
.
Например, для 
 первообразной будет функция
первообразной будет функция 
 ,
так как
,
так как 
 .
Для функции
.
Для функции 
 первообразной будет функция
первообразной будет функция  
 ,
так как
,
так как  
 .
Заметим, что если 
первообразная функции 
,
то
.
Заметим, что если 
первообразная функции 
,
то 
 ,
где С – любое число, тоже первообразная
функции  
,
так как
,
где С – любое число, тоже первообразная
функции  
,
так как 
 .
.
Множество первообразных функции 
называется неопределенным интегралом
от функции 
и обозначается  
 .
.
Например, 
 ,
так как
,
так как 
 
Запишем таблицу неопределенных интегралов.
1) 
 8)
                                                   8) 
 
2) 
 9)
                        9) 
 
3) 
 10)
                                          10) 
 
4) 
 11)
                                11) 
 
5) 
 12)
                                          12) 
 
6) 
 13)
                                  13) 
 
7) 
 
При нахождении неопределенного интеграла используют правила:
1.   
 , то есть постоянный множитель выносится
 , то есть постоянный множитель выносится
за знак интеграла
2.  
 , то есть интеграл от суммы равен
, то есть интеграл от суммы равен 
сумме интегралов.
Пример.  
 
                   
 
По определению  
 Например,
  Например, 
 
Пример. 
 
 
 
Пример.  
 
 
Дифференциалом функции   
 называется
называется  
 
Например:
1)    
 
2)    
 
3)    
 
Пример.  
 
 
Пример.  
 
 
Пример.  
 
Пример.  
 
 
Выражение 
 называется полным квадратом.
 называется полным квадратом.
Пример.  
 
 
При нахождении интегралов иногда
используют формулу  
 
Например:
 
 
Пример.  
 
 
 
 
Задание 1.
1)   
 
       
 
2)  
 
      
 
      
 
3) 
 
 
 
4)   
 
5)  
 
6)   
 
      
 
      
 
5.Определенный интеграл.
Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
                                              
 
Здесь 
 и
и  
 называются пределами интегрирования,
называются пределами интегрирования,
 - первообразная
- первообразная  
 ,
то есть неопределенный интеграл. Для
вычисления определенного интеграла
надо найти первообразную, найти ее
значения на верхнем пределе, на нижнем
пределе и вычесть.
,
то есть неопределенный интеграл. Для
вычисления определенного интеграла
надо найти первообразную, найти ее
значения на верхнем пределе, на нижнем
пределе и вычесть.
Пример.
1)     
 
2)    
 
С помощью определенного интеграла находятся площади фигур, длины кривых, объемы тел и т.д.
Площадь криволинейной трапеции находится по формуле:
 
Пример.
  Найти площадь фигуры, ограниченной
кривыми  
 
 Строим параболу  
 ,
прямую 
,
- ось 
,
,
прямую 
,
- ось 
,
 
 - ось  
.
- ось  
.
 
 
В более общем случае площадь плоской
фигуры, ограниченной линиями  
 находится по формуле:
находится по формуле:
 
Пример.  Найти площадь фигуры,
ограниченной кривыми  
 
Строим параболу  
 .
Находим точки пересечения параболы с
осью 
.
.
Находим точки пересечения параболы с
осью 
.
 
Прямую 
 строим по двум точкам:
 строим по двум точкам: 
 
 
Находим точки пересечения параболы и прямой:
 
Находим площадь фигуры:
 
 
Задание 1. Найти определенный интеграл.
1) 
 
 
2)
 
 
3)
 
 
4)
 
 
 
 
 
