 
        
        - •1.Умножение матрицы на число.
- •2.Сложение (вычитание) матриц.
- •4. Транспонирование матриц.
- •Определители квадратных матриц.
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
- •Скалярное произведение векторов.
- •3.Векторное произведение векторов.
- •5.Смешанное произведение векторов.
- •Прямая на плоскости.
- •Кривые второго порядка.
- •Введение в математический анализ.
- •Дифференциальное исчисление.
- •Односторонние пределы, непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация.
- •Производная сложной функции.
- •Интервалы монотонности, экстремум функции одной переменной. Выпуклость, вогнутость функции, точки перегиба.
- •Неопределенный интеграл.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.
1. Действия над матрицами.
Матрицей называется прямоугольная таблица элементов, например
 
Размерность матрицы обозначают 
 ,
где
,
где 
 - число строк, а
- число строк, а 
 -
число столбцов матрицы. Например,
размерность матрицы А -
-
число столбцов матрицы. Например,
размерность матрицы А - 
 ,
матрицы В -
,
матрицы В - 
 ,
,
матрицы 
 -
-
 .
В общем случае элемент матрицы обозначают
.
В общем случае элемент матрицы обозначают
 ,
где
,
где 
 -
номер строки, а
-
номер строки, а 
 -
номер столбца матрицы, на пересечении
которых находится этот элемент. Например,
для матрицы А
-
номер столбца матрицы, на пересечении
которых находится этот элемент. Например,
для матрицы А  
 ,
для матрицы В
,
для матрицы В 
 .
.
Определим действия над матрицами.
Умножение матрицы на число и сложение покажем на примерах.
1.Умножение матрицы на число.
Пример.
 или
 или 
 
2.Сложение (вычитание) матриц.
Пример.
 
3.Умножение матриц.
Если матрица А имеет размерность 
 ,
а матрица В имеет размерность
,
а матрица В имеет размерность 
 ,
то их можно умножать. В результате
получается матрица
,
то их можно умножать. В результате
получается матрица 
 ,
размерность которой будет 
.
Например,
,
размерность которой будет 
.
Например, 
 размерности
размерности 
 ,
В размерности 
,
то 
будет размерности
,
В размерности 
,
то 
будет размерности 
 .
.
Пример.
 
Первую строку А умножаем на первый
столбец В:  
 .
.
Первую строку А умножаем на второй
столбец В:   
 .
.
Вторую строку А умножаем на первый
столбец В:   
 .
.
Вторую строку А умножаем на второй
столбец В:     
 .
.
Пример.
 
Пример.
 
4. Транспонирование матриц.
Чтобы транспонировать матрицу, надо строки матрицы записать в столбцы.
Пример.
Если  
 ,
то транспонированная матрица
,
то транспонированная матрица  
 
Если 
 ,
 то
,
 то 
 
Задание 1. Найти 
 
 
Решение.
 
- Определители квадратных матриц.
Для квадратных матриц вводится число, которое называется определителем.
Для матриц второго порядка ( размерность ) определитель задается формулой:
 
Например, для матрицы 
 ее определитель
ее определитель 
 
Пример. Вычислить определители матриц.
 
     
 
        
 
Для квадратных матриц третьего порядка (размерность ) существует правило «треугольника»: на рисунке пунктирная линия означает – умножить числа, через которые проходит пунктирная линия. Первые три числа надо сложить, следующие три числа надо вычитать.
 
Пример. Вычислить определитель.
 
 
 
Чтобы дать общее определение определителя, надо ввести понятие минора и алгебраического дополнения.
Минором 
 элемента матрицы 
называется определитель, полученный
вычеркиванием 
-
той строки и 
-
того столбца.
элемента матрицы 
называется определитель, полученный
вычеркиванием 
-
той строки и 
-
того столбца.
Пример. Найдем некоторые миноры матрицы А.
 
  
 
    
 
 
   
 
   
 
  
Алгебраическим дополнением  
 элемента  
называется число
элемента  
называется число 
 .
.
Значит, если сумма индексов и четная, то и ничем не отличаются. Если же сумма индексов и нечетная, то и отличаются только знаком.
Для предыдущего примера 
 .
.
Определителем матрицы называется сумма произведений элементов некоторой строки
( столбца) на их алгебраические дополнения. Рассмотрим это определение на матрице третьего порядка.
 
Первая запись называется разложением определителя по первой строке, вторая - разложение по второму столбцу, последняя – разложение по третьей строке. Всего таких разложений можно записать шесть раз.
Пример. Вычислить определитель по правилу «треугольника» и разложив его по первой строке, затем по третьему столбцу, затем по второй строке.
 
Разложим определитель по первой строке:
 
Разложим определитель по третьему столбцу:
 
Разложим определитель по второй строке:
 
Заметим, что чем больше нулей, тем проще вычисления. Например, раскладывая по первому столбцу, получим
 
Среди свойств определителей есть свойство, позволяющее получать нули, а именно:
Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на ненулевое число, то определитель не изменится.
 
 .
.
Возьмем этот же определитель и получим нули, например, в первой строке.
 =
= 
Определители более высоких порядков вычисляются таким же образом.
Задание 2. Вычислить определитель четвертого порядка:
- разложив по любой строке или любому столбцу 
- получив предварительно нули 
 
 
Получим дополнительный ноль, например, во втором столбце. Для этого элементы второй строки умножим на -1 и прибавим к четвертой строке:
 
