3.2. Аксиоматическая теория синтеза модели оценивания и управления риском

В основу математической теории систем могут быть положены следующие системные концепции математики: множественная, структурно-математическая, логико-алгебраическая, категорийно-функторная. Перечисленные варианты в основном исходят из сложившихся наиболее общих конструкций математики.

Теоретико-множественный подход, сводящийся к определению системы как отношения, рассматривается как лишь как первый шаг, не позволяющий, однако, установить четкие связи между разнообразными видами моделей систем, осуществить моделирование, отражающие различные аспекты системы и различные степени детализации ее представления.

Концепция математической структуры создает основу для разработки общих путей решения подобных задач, а также необходимую базу для математического моделирования систем.

Развитие аксиоматических конструкций и теории морфизмов получили в рамках логико-алгебраического подхода, что и вызвало соответствующие попытки использовать именно этот подход в качестве основы математической теории систем. Например, М. Месарович в качестве одного из определений систем рассматривает некоторую совокупность формул математической логики. Ю.А. Гастев разработал на основе логико-алгебраического подхода, в частности теории гомоморфизмов, ряд методологических положений моделирования систем. Вместе с тем, рассматриваемые в рамках логико-алгебраического подхода  - структуры обычно строятся на одном базисном множестве, что создаёт существенные трудности при решении задач моделирования с использованием этих структур.

- структурой называется объект U = R, , состоящий из непустого множества R и множества  =    , где  - множество алгебраических операций, а  - множество предикатов, определенных на множестве R – носителе  - структуры.

Для преодоления отмеченных трудностей при использовании  - структуры в настоящей книге разработана математическая структура  , которая на основе введённой новой аксиоматики, включающей язык (базовые понятия, ключевые слова и отношения между ними), аксиому (уравнение синтеза) и теоремы (базовые зависимости достижения результата), позволила определить систему и тем самым учитывать её конструкцию, применение и целевое предназначение (эффективность применения).

В центре внимания современной абстрактной алгебры находятся не только такие алгебраические структуры, как группы, полугруппы, кольца, модели и т.д., ставшие уже классическими, и их далеко идущие обобщения, но и объекты новой природы, в которых алгебраические операции определённым образом связаны со свойствами несущего множества. Как раз в нашем рассматриваемом случае введена именно такая операция. Как известно, алгебраическая операция это отображение, сопоставляющее всякому упорядоченному набору n элементов данного множества определённый элемент этого же множества. (f (r):Q  R, функциональная зависимость f(r) обеспечивает формирование элементов r R, удовлетворяющих уравнению синтеза облика и способов применения системы (u(r),v(r),r)dr=I, т.е. формирование множества требуемых пространственно-временных состояний Q R). Физически эта операция «фильтрует» эле-менты множества R с целью выбора таких элементов, которые несут свойства создаваемой целевой системы и тем самым формируют элементы множества QR. Что касается предикатов, то они являются функциями, отображающими значения трех аргументов (характеристики РСОУ, ППЭ и ЭБП) в высказываниях об этих трех аргументах. Предикат – это функция, отображающая значения аргументов в высказывания об этих аргументах . Введем следующие предикаты.

Z(Q) – система обладает требуемым ПВС Q.

L() - система обладает требуемым ППЭ .

E (I) - система характеризуется требуемым показателем ЭБП I.

А(Q,, I) – три характеристики базовых понятий системы удовлетворяют следующему соотношению (u(r),v(r),r)dr = I.

Q, , I – предметные переменные,

Z(Q), L(), E (I), А(Q,, I)... – переменные высказывания.

Сформулируем аксиомы. Система аксиом состоит из двух вложенных групп. Вторая вложена в первую.