Вопрос 15.Изгиб, Виды изгиба, Внутренние силовые факторы, Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Дано: l=2.4м; F=12кН; q=10кН/м; М=6кНм. 

Схема нагружения балки представлена на рисунке. Определим опорные реакции, записывая уравнения моментов всех сил, приложенных к балке, относительно точек А и В.  Положительные знаки опорных реакций свидетельствуют о том, что предполагаемое направление соответствует истинному. Возьмем на балке характерные сечения и вычислим в них величины Q и М.  Определение значений поперечной силы в характерных сечениях.  По найденным значениям поперечных сил построена эпюра Q Определение величин изгибающих моментов в характерных сечениях.  По найденным значениям моментов строим эпюру изгибающих моментов М.  Из эпюры изгибающих моментов находим опасное сечение  Из условия прочности  Найдем необходимый момент сопротивления сечения По сортаменту (ГОСТ 8239-72) принимаем двутавр № 20 с Wx = 184 см3  Опасное сечение в точке , где М=22.2кНм, Q=12.25кН.  Определим максимальные, нормальные напряжения Максимальные касательные напряжения Определяем напряжения в опасном сечении в точке С по формуле По найденным данным строим эпюры напряжений.  Определим перемещение точки К балки.  Граничные условия имеют следующий вид:  Va=0 при Х=0; Vb=0 при Х=4,8м.  Левая опора совпадает с началом координат  . Следовательно один из начальных параметров определен.  В уравнение должно войти все внешние усилия расположенные левее точки В.  Для определения прогиба в точке К при х=2.4м составим уравнение:  Таким образом точка К перемещается вниз на 1.17см.  Анализируя эпюру Mx видим, что на участке 0-1 растянуты нижние волокна, и поэтому на этом участке изогнутая ось балки будет иметь вы-пуклость вниз. В точке, где Mx = 0, будет точка перегиба. На участке 1-2 растянуты верхние волокна, и изогнутая ось балки будет иметь выпуклость вверх. На участке 3-4 растянуты нижние волокна, и изо¬гнутая ось балки будет иметь выпуклость вниз. В точке, где Mx = 0, будет точка перегиба. Учитывая все сказанное и то, что прогибы в опорных сечениях равны нулю, строим приблизительный вид изогнутой балки . 

Вопрос 16.Формула кривизны нейтрального слоя.

Не нуждается в примерах.

Вопрос 17.Нормальные напряжения при изгибе. Условия прочности. Осевой момент сопротивления.

Не нуждается в примерах.

Вопрос 18.Определение перемещений при изгибе. Интеграл Мора. Метод Верещагина.

Интеграл мора:Пусть для шарнирно опертой балки постоянной изгибной жесткости  , длиной l, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 15.7, а), требуется определить прогиб посредине пролета ( ) и угол поворота на левой опоре ( ).

определение прогиба с помощью интеграла Мора

В том месте, где нам нужно определить прогиб, к вспомогательной балке прикладываем единичную силу  (рис. 15.7, б).

 Записываем выражения для изгибающих моментов для каждого из двух участков ( ) заданной и вспомогательной балок:

.

.

Вычисляем интеграл Мора. Учитывая симметрию балки, получим:

.

Определение угла поворота методом Мора

Нагружаем вспомогательную балку единичным моментом  , прикладывая его в том месте, где мы ищем угол поворота (рис. 15.7, в).

Записываем выражения для изгибающих моментов в заданной и вспомогательной балках только для одного участка ( ):

;

.

Тогда интеграл Мора будет иметь вид:

.

Положительный знак в выражении для угла поворота поперечного сечения балки указывает на то, что поворот сечения происходит по направлению единичного момента  .

Методом Верещагина:

Определить перемещение точки К балки по способу Верещагина.

Решение.

1) Строим грузовую эпюру.

2) Прикладываем в точке К единичную силу.

3) Строим единичную эпюру.

4) Определяем прогиб

;      ;    

Задача 2:

Определить углы поворота на опорах А и В для заданной балки (см. рис.).

Решение.

Строим эпюры от заданной нагрузки и от единичных моментов, приложенных в сечениях А и В (см. рис.). Искомые перемещения определяем с помощью интегралов Мора

,

, которые вычисляем по правилу Верещагина.

Находим параметры эпюр

    C₁ = 2/3,     C₂ = 1/3,

а  затем  и  углы  поворота  на опорах А и В  

Пример 3.16

Определить прогиб сечения A и угол поворота сечения В консольно закрепленной балки (рис. 3.87а). Жесткость EI_z по длине балки принять постоянной.

Решение.

Построим эпюры изгибающих моментов от заданных нагрузок M_z (рис. 3.87б), а затем от единичной силы M_z`, приложенной к концу консоли в сечении А (рис. 3.87д) и от единичной пары M<sub>z</sub>`, приложенной в сечении В (рис. 3.87ж).

Рисунок 3.87

Для определения прогиба точки А надо перемножить эпюры от заданной нагрузки M_z (рис.3.87б) и единичной силы M_z` (рис. 3.87д). Разобьем основную эпюру на параболический треугольник, прямоугольник и треугольник (трапецию разбиваем на прямоугольник и треугольник потому, что заранее неизвестно, где находится ее центр тяжести) и вычислим ω_i, а затем по эпюре от единичной силы найдем координаты y_ci.

В результате получим:

Определяя угол поворота сечения В, перемножаем эпюры от заданных нагрузок M_z (рис. 3.87б) и единичного момента M_z` (рис. 3.87ж) только на правом участке (на левом это произведение равно нулю). Обе эпюры на этом участке линейные, и поэтому безразлично, с какой из них брать площадь. Если площадь взять с эпюры от заданных нагрузок, то:

Если же площадь взять с единичной эпюры, то

Результаты перемножения, как и следовало, ожидать одинаковы. Знак минус показывает, что сечение В поворачивается в направлении, противоположном направлению единичного момента.

Вопросы 19 - 22

Не нуждаются в примере.