26.Линейные дифференциальные уравнения с постоянным коэффициентом.

Дифференциальное уравнение вида

                                                   

где  , f - известная функция, называется линейным дифференциальным уравнением n - го порядка с постоянными коэффициентами. Если  , то уравнение (1) называется однородным, в противном случае - неоднородным. К однородному уравнению, очевидно, применима теорема существования и единственности, причем интервалом определения решений этого уравнения будет вся действительная ось.

Если f - непрерывная функция, то общее решение уравнения (1) состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения 

Чтобы решить однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами надо составить характеристическое уравнение                                                  и найти его корни  . Каждому простому корню   соответствует частое решение однородного уравнения (1), имеющее вид  , а каждому корню  кратности k  - решения  . Произвольная линейная комбинация всех частных решений является общим решением однородного уравнения (1), т.е.

,

где   произвольные постоянные.

Если все коэффициенты однородного уравнения (1) вещественные, то решение можно написать в вещественной форме  и в случае комплексных корней  . Для каждой пары комплексно сопряженных корней   в формулу общего решения включаются слагаемые

,

если эти корни простые, и слагаемые

,

если каждый из корней   имеет кратность k. Здесь   - многочлены степени k-1.

27.Общие понятия о системах дифференциальных уравнений. И метод алгебраических уравнений (метод исключения).

Частным случаем канонической системы дифференциальных уравнений является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной.

Введением новых функций

это уравнение заменяется нормальной системой   уравнений

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система   уравнений первого порядка

эквивалентна одному уравнению порядка  . На этом основан один из методов интегрирования систем дифференциальных уравнений — метод исключения. Проиллюстрируем этот метод на примере системы двух уравнений:

Здесь   — постоянные коэффициенты, а   и   — заданные функции;   и   — искомые функции. Из первого уравнения системы (1) находим

Подставляя во второе уравнение системы вместо у правую часть (2), а вместо   производную от правой части (2), получаем уравнение at второго порядка относительно 

где   — постоянные. Отсюда находим  . Подставив найденное выражение для   и   в (2), найдем  .

28. Линейные дифференциальные уравнения. Структура общего решения. Формула Остроградского — Лиувилля.

формула, связывающая определитель Вронского (вронскиа́н) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении.

Пусть есть дифференциальное уравнение вида

тогда   где   — определитель Вронского

Для линейной однородной системы дифференциальных уравнений

 где   — непрерывная квадратная матрица порядка  , справедлива формула Лиувилля-Остроградского

 где   — след матрицы 

В математике линейное дифференциальное уравнение имеет вид

где дифференциальный оператор L линеен, y — неизвестная функция  , а правая часть   — функция от той же переменной, что и y.

Линейный оператор L можно рассматривать в форме

Теорема (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения). Пусть имеется дифференциальное уравнение

где функции a1(x), . . . , a_n(x) определены и непрерывны на промежутке I. Тогда совокупность всех решений этого уравнения есть линейное пространство размерности n.

Доказательство. То, что совокупность X всех решений данного дифференциального уравнения образует линейное пространство, уже доказано (см. теорему о линейном пространстве решений линейного однородного уравнения). Чтобы доказать, что

dim X = n, достаточно указать в X базис из n векторов.

29. Согласно теореме (о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения) общее решение (обозначим его через у) линейного неоднородного уравнения представляет собой сумму какого-нибудь его частного решения (обозначим через  ) и общего решения (обозначим через ) соответствующего исходному линейного однородного дифференциального уравнения, т.е.: 

Следовательно, для построения общего решения линейного неоднородного уравнения необходимо найти какое-нибудь одно его частное решение и общее решение соответствующего однородного уравнения. Частное решение неоднородного  всегда может быть найдено методом вариации произвольной постоянной Лагранжа, поэтому ограничимся рассмотрением случая, когда правая часть уравнения – функция  является так называемой специальной правой частью, т.е. имеет вид:

где α и β – константы P_n (x) и Q_m (x) – многочлены от х соответственно n – ой и m – ой степени (или является суммой функций такого вида).

На практике чаще всего имеют дело со следующими частными случаями

Специальной правой части уравнения

7)

30. Системы линейных дифференциальных уравнений.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

где a_ij(x) и b_i (x) — известные, а y_j (x) — неизвестные функции, (i = 1,2, … ,n,   j = 1,2, … , n) называется линейной системой дифференциальных уравнений.

 

При описании линейных систем дифференциальных уравнений удобнее пользоваться векторной (матричной) формой записи. Обозначим

Тогда линейная система дифференциальных уравнений в векторной (матричной) форме записывается в виде Y' = A(x)Y + b(x) или, что то же самое, в виде

Матрица A называется матрицей системы, а вектор–функция b(x) — неоднородностью системы.

Система   Y' = A(x)Y + b(x) называется неоднородной линейной системой дифференциальных уравнений, а система   Y' = A(x)Y—однородной линейной системой.

 Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейной системы дифференциальных уравнений.

Если A(x) и b(x) непрерывны на отрезке [a, b] , то какова бы ни была начальная точка (x₀, Y₀) из R^{n + 1}, задача Коши Y' = A(x)Y + b(x), Y(x₀) = Y₀,

имеет единственное на [a,b] решение Y = Y(x) .

 Важно отметить, что для линейной системы дифференциальных уравнений разрешимость задачи Коши глобальная: решение существует всюду, где непрерывны коэффициенты и неоднородность системы. функции   и  , которые удовлетворяют и первому и второмууравнению системы. Как видите, принцип очень похож на обычные системы линейных уравнений. Только там корнями являются числа, а здесь – функции.

Найденный ответ записывают в виде общего решения системы дифференциальных уравнений: