9. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

;  ;  - это матрица Якоби для оператора производной. Якобиан равен  . То есть модуль производной есть коэффициент искажения площадей на касательной плоскости при дифференцировании. Так как  , значит дифференцирование сохраняет ориентацию касательной плоскости. Рассмотрим теперь аргумент производной:  . Тогда:  , то есть при дифференцировании осуществляется поворот касательной плоскости на угол величиной равной аргументу производной. Следствия: 1) Растяжение по всем направлениям в касательной плоскости постоянно. 2) Углы между касательными кривыми сохраняется, если   (консерватизм углов) Опр: Функция  , определенная в области , называется Аналитической в области  , если   (голоморфная). Опр: Функция  , определенная в некоторой окрестности   точки  , называется Аналитической в точке  , если существует окрестность   точки  , в которой эта функция аналитична. Опр: Отображение  , где   - область в  , называется Однолистным (иньективным), если  Опр: Если аналитическая функция осуществляет однолистное отображение, то говорят, что Функция однолистна в области  , а отображение называют Конформным.

10.Интеграл функции нескольких переменных. Его свойства и вычисление. Интегральная теорема Коши.

Определение. Пусть на комплексной плоскости С задана ориентированная кусочно-гладкая кривая  , на которой определена функция w = f(z). Разобьём кривую точками z₀ = A, z₁, z₂, …, z_n = B на n частей, на каждой из дуг   выберем произвольную точку t_k, найдёмf(t_k) и составим интегральную сумму  . Предел последовательности этих сумм при n → ∞, max|Δ z _k| → 0(k = 1, 2, ..., n), если он существует, не зависит ни от способа разбиения кривой на дуги, ни от выбора точек t_k, называется интегралом от функцииw = f(z) по кривой L и обозначается  . 

Интегральная теорема Коши — утверждение из теории функций комплексного переменного.

Теорема:

Для любой функции  , аналитической в некоторой односвязной области   и для любой замкнутой

кривой   справедливо соотношение

 

Доказательство:

Из условия аналитичности (уравнений Коши—Римана) следует, что дифференциальная форма   замкнута. Пусть теперь   — замкнутый самонепересекающийся кусочно-гладкий контур внутри области определения функции  , ограничивающий область  . Тогда по теореме Стокса имеем:

11.Интегральная формула Коши. Бесконечная дифференциальность интегральных функций.

Пусть   — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей  , функция   — голоморфна в   и   — точка внутри области  . Тогда справедлива следующая формула Коши:

Формула справедлива также, если предполагать, что   голоморфна внутри  , и непрерывна на замыкании, а также если граница   не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.

Доказательство[править | править вики-текст]

Рассмотрим окружность S_ρ достаточно малого радиуса ρ с центром в точке z₀. В области, ограниченной контурами Γ и S_ρ подынтегральная функция не имеет особенностей и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что независимо от ρ имеем равенство:

Для расчёта интегралов по   применим параметризацию  . Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая  :

Воспользуемся ею для доказательства общего случая:

Так как функция   комплексно дифференцируема в точке  , то:

Интеграл от   равен нулю:

Интеграл от члена   может быть сделан сколь угодно малым при  . Но поскольку он от   вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что