6. Интеграл и преобразование Фурье. Синус косинус преобразователя. Комплексная форма интеграла Фурье. Спектр функций.

Преобразование Фурье функции   вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:

Разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведённого выше выбором коэффициента перед интегралом, а также знака «−» в показателе экспоненты. Но все свойства будут те же, хотя вид некоторых формул может измениться. Интеграл Фурье для кусочно-непрерывной и абсолютно интегрируемой на   функции f:

где 

     Если f четная, то   интеграл Фурье 

     Если f нечетная, то   интеграл Фурье 

Если функция f(x) удовлетворяет интегральной форме Дирихле, то она представима интегралом Фурье в действительной форме.

   (1) 

 В круглой скобке выражения (1) стоит функция четная относительно α , а следовательно, эта функция определена относительно и при отрицательных α . Поэтому формулу(1) можно обобщить следующим образом   (2)

Введем в рассмотрение интеграл

   (3). 

Под знаком интеграла(3) в скобке стоит нечётная функция относительно α , а потому интеграл (3) равен 0(нулю).

    (4). 

В (4) перейдем к пределу при М→∞, причем сходимость несобственного интеграла будем понимать в смысле главного значения. Из курса математического анализа, известно, что   

И суммарный интеграл сходится, когда оба слагаемых интеграла являются сходящимися. Выражение   называется главным значением интеграла  .

7. Определение, предел, непрерывность функций комплексной переменной.

Определение функции комплексной переменной ничем не отличается от общего определения функциональной зависимости. Напомним, что областью на плоскости мы называем любое открытое связное множество точек этой плоскости. Область односвязна, если любая подобласть, ограниченная непрерывной замкнутой самонепересекающейся кривой, лежащей в этой области, целиком принадлежит области. 

Предел ФКП.          Определение. Пусть функция w = f(z) определена в проколотой окрестности точки z₀ = x₀ + iy₀. Комплексное число w₀ = u₀ + iv₀ называется пределом функции при z → z₀, если для любой ε-окрестности U(w₀, ε) (ε>0) точки w₀ найдётся такая проколотая δ-окрестность   точки z₀, что для всех   значения f(z) принадлежат U(w₀, ε). Другими словами, если z₀ - собственная точка плоскости, то для любого ε > 0 должно существовать такое δ > 0, что из неравенства 0 < |z − z₀| < δ следует неравенство | f(z) − w₀| < ε (аналогично расписывается определение для несобственной точки z₀ = ∞). Таким образом, на языке ε - δ определение предела ФКП полностью совпадает с определением предела функции одной действительной переменной; обозначается предел, как обычно:

 Непрерывность ФКП. Пусть функция w = f(z) определена в окрестности точки z₀ = x₀ + iy₀. Функция называется непрерывной в точке z₀, если:          1. существует  ;          2.            Как и в случае предела, можно показать, что w = f(z) будет непрерывной в точке z₀ = x₀ + iy₀ тогда и только тогда, когда функции u(x, y) и v(x, y) непрерывны в точке (x₀, y₀), поэтому на ФКП переносятся все основные теоремы о непрерывности функций.

8. Производная функций нескольких переменных (фнп).

Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

Обычно функция нескольких переменных задается явным аналитическим способом. Например: z=3x+5y²,u=xy+z² и т.д.

Встречается также и неявное задание таких функций, например: z-2x-sinxy=0.

 Упорядоченная пара чисел (x,y) может рассматриваться как точка на плоскости, т.е. Z есть функция точки (x,y).

Чтобы задать функцию z=f(x,y), надо не только указать правило нахождения z по заданным x и y, но и то множество (называемое областью задания функции) пар значений, которые могут принимать аргументы x и y.

Пусть z=f(x,y). Зафиксируем какую-либо точку (x,y), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y, придадим аргументу x приращение  . Тогда zполучит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается   и определяется формулой  .

Аналогично, если x сохраняет постоянное значение, а y получает приращение  , то z получает частное приращение z по y, .

Определение. Частной производной по x от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения  по x к приращению  при стремлении   к нулю, т.е.

Частная производная обозначается одним из символов .