4. Ортогональные функции. Скалярные произведения. Норма. Многочлены Чебышева и Лежандра. Ряд Фурье по ортогональной системе функции.

Две вообще говоря комплексно значные функции   и  , принадлежащие пространству Лебега  , где   - измеримое множество называются ортогональными, если

Для векторных функций вводится скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.

Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом   функции   и  , если

где   — скалярное произведение векторов   и   — значений векторнозначных функций   и   в точке  ,   — точка области  , а   — элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных  ,  скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных  ,  :  .

5.Свойство минимальных коэффициентов Фурье. Неравенство Песселя. Равенство Парсеваля. Сходимость в среднем. Полнота и замкнутость систем функций.

Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса  , а экспоненциальное —аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:

• Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю (лемма Римана — Лебега^[en]).

• Если функция   принадлежит классу  , то есть дифференцируема   раз и её  -я производная непрерывна, то 

• Если ряд   сходится абсолютно, то   при всех  .

• Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем  , то ряд   сходится абсолютно (теорема Бернштейна).

• Если  , то функция   является аналитической. Верно и обратное.

В математике неравенство Бесселя — утверждение о коэффициентах элемента   в гильбертовом пространстве касательно ортонормированной последовательности.

Пусть   — гильбертово пространство, и   — ортонормированная последовательность элементов  . Тогда для произвольного   выполняется неравенство:

где <∙,∙> обозначает скалярное произведение в пространстве  . Неравенство Бесселя следует из следующего равенства:

которое выполняется для произвольного  .

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную системумногочленов на отрезке   по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов   ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Многочле́ны Чебышёва^{[К 1]} — две последовательности ортогональных многочленов   и  ,   названные в честь Пафнутия Львовича Чебышёва:

• Многочлен Чебышёва первого рода   характеризуется как многочлен степени   со старшим коэффициентом  , который меньше всего отклоняется от нуля на отрезке  . Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.

Многочлены Чебышёва второго рода

• Многочлен Чебышёва второго рода   характеризуется как многочлен степени   со старшим коэффициентом  , интеграл от абсолютной величины которого по отрезку  принимает наименьшее возможное значение.

Впервые рассмотрены в Последовательность функций   непрерывных на отрезке [a,b], называется ортогональной системой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если

•   

• Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],

• если выполняется условие

• 

• Пусть теперь f(x) - любая функция непрерывная на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на отрезке [a,b] по ортогональной системе называется ряд:

• 

• коэффициенты которого определяются равенством:

•   n=1,2,...

• совместной работе двух учеников Чебышёва — Коркина и Золотарёва.