4. Применение теории массового обслуживания к решению эксплуатационных задач

Прогрессивная организация технического сервиса основана на создании такой службы, в которой одна часть исполнителей вы­полняет плановые работы, а другая — оперативное обслуживание, т. е. быстро устраняет отказы электрооборудования.

Процесс обслуживания оперативной службой состоит в следу­ющем. Электрохозяйство сельскохозяйственного предприятия имеет определенное количество электрооборудования, которое учитывают числом условных электроустановок [1]. Отдельные электроустановки время от времени выходят из строя и оператив­ная служба обслуживает их, восстанавливая или заменяя.

Каждый отказ происходит в случайный момент времени. Коли­чество отказов за сутки и за год — тоже случайная величина. Это затрудняет правильный выбор числа исполнителей оперативной бригады. Если выбрать по наибольшему количеству отказов, то в отдельные периоды, когда отказов мало, исполнители будут про­стаивать. Если выбрать по наименьшему количеству отказов, то исполнители не всегда будут успевать устранять отказы. Расчет по среднему количеству отказов также не гарантирует полную заня­тость исполнителей и полное устранение отказов. Успешное ре­шение такой задачи дают методы ТМО.

Предположим, что парк электрооборудования сельскохозяй­ственного предприятия состоит из т условных электроустановок. Они создают поток отказов с интенсивностью λ. Оперативная служба устраняет эти отказы с интенсивностью µ. Промежутки времени между отказами, а также продолжительности восстанов­ления распределены по показательному закону. Этими исходными данными описывают простейшую СМО. Требуется определить ко­личество каналов обслуживания — электромонтеров, обеспечива­ющих наибольшую эффективность оперативного обслуживания.

В данном случае эффективность следует оценить экономичес­ким критерием. Необходимо создать такую службу, чтобы затра­ты, связанные с простоем производственных процессов и содер­жанием оперативной службы, были бы наименьшими. Произво­дительность устранения отказов зависит от числа исполнителей в оперативной службе. Если исполнителей много, то отказы устра­няют быстро и просто. При этом ущерб производственных про­цессов не велик, но на оплату труда этих исполнителей придется выделить большие средства, и они могут быть загружены не пол­ностью. Если же электромонтеров мало, то простои из-за отказов увеличиваются и возрастает ущерб производству, хотя затраты на оперативную службу снижаются.

Такое изменение экономического критерия системы оператив­ного обслуживания электроустановок или другой техники описы­вают следующим уравнением:

где п — среднее число простаиваемых из-за отказа электроустановок (обслуживаемых и ожидающих обслуживания); С_пр —потери в единицу времени от простоя одной условной электроустановки; r — число электромонтеров оперативной служ­бы; —заработная плата одного электромонтера в единицу времени.

Среднее число простаиваемых электроустановок численно рав­но длине очереди системы, его определяют суммированием про­изведений состояний k на их вероятности . По уравнениям (6.8) находим

Сопоставляя (6.8), (6.12) и (6.13), находим, что суммарные зат­раты зависят не только от числа электромонтеров, но и от нагруз­ки системы массового обслуживания , количества электро­установок М и удельных стоимостных показателей и . Для использования выражения (6.12) в практических расчетах исполь­зуют табличные данные основных характеристик оперативного обслуживания, приведенных в таблице 6.1 [1].

Кроме абсолютных показателей системы (Р₀, п, k) в таблице 6.1 приведены затраты на заработную плату З_r и на покрытие ущерба от простоев для частного случая С_r = 3 руб./ч, = 1 и 3 руб./ч. Минимальное значение суммар­ных затрат соответствует опти­мальной численности электро­монтеров оперативной службы.

Анализ общих характеристик (6.12), (6.13), данных таблицы 6.1 и рисунка 6.3, построенного по данным таблицы 6.1, позволяет сделать выводы о закономернос­тях построения оперативной службы сервиса.

Зависимость суммарных затрат от числа исполнителей имеет ярко выраженный минимум, который определяет оптимальное количество электромонтеров. Отступление от этого числа в мень­шую сторону сильнее увеличивает суммарные затраты, чем в боль­шую. С ростом удельного ущерба от простоя техники оптимум смещается в сторону большего числа исполнителей, а абсолютный минимум суммарных затрат возрастает.

С ростом коэффициента нагрузки СМО кривая зависи­мости суммарных затрат становится более пологой, т.е. отступле­ния от оптимального числа исполнителей увеличивают эти затра­ты в меньшей степени.

Оптимальное число электромонтеров оперативной службы обеспечивают, как правило, при относительно небольшой их за­нятости (20...50 %). Поэтому для повышения загрузки следует со­вмещать выполнение плановых и оперативных работ этими элект­ромонтерами.

Другие эксплуатационные задачи рассмотрим на примерах их решения.

Задача 1. На вход одноканальной СМО с отказами поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Время обслужива­ния имеет показательное распределение с параметром µ. В началь­ный момент времени t = 0 канал свободен. Построить размечен­ный граф состояний СМО. Написать и решить дифференциаль­ные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний СМО. Найти финальные вероятности состояний СМО. Найти финальные вероятности состояний и (для установившегося режима) характеристики эффективности СМО: A, Q, , .

Решение. Состояния СМО: s₀ — свободна; —канал занят. Граф состояний СМО показан на рисунке 6.4.

Уравнения Колмогорова:

Так как для любого t, можно выразить через и получить одно уравнение для р₀:

Решая это уравнение, получаем р₀ как функ­цию t:

Отсюда

При финальные вероятности

которые можно было бы найти и гораздо проще, решая линейные алгебраические уравнения для финальных вероятностей состоя­ний:

Формулы (6.16) можно записать компактнее, если ввести обозначение :

Характеристики эффективности СМО:

Задача 2. Одноканальная СМО с отказами представляет собой группу дежурного обслуживания, в которой дежурит один элект­ромонтер, на вход которой поступает простейший поток вызовов с интенсивностью λ = 0,6 ч^-1. Средняя продолжительность устране­ния неисправности = 50 мин; время устранения имеет показа­тельное распределение. Необходимо найти финальные вероятнос­ти состояний СМО: р₀ и p₁ а также

А — среднее число заявок, обслуживаемое СМО в единицу вре­мени (абсолютную пропускную способность);

Q — вероятность обслуживания поступившей заявки (относи­тельную пропускную способность);

— вероятность отказа, т. е. вероятность того, что поступив­шая заявка не будет обслужена;

— среднее число занятых каналов.

Сравнить пропускную способность СМО с номинальной, кото­рая была бы, если бы устранение неисправности длилось точно 45 мин, а заявки шли одна за другой регулярно без перерывов.

Решение.

По формулам (6.16)

Таким образом, электромонтер в среднем будет обслуживать Q = 0,667 поступающих к нему заявок, т. е. 0,4 вызова в час или 3 вызова в смену. Номинальная пропускная способность канала была бы (при регулярно приходящих и регулярно обслуживаемых заявках А_н = 1 / 1/0,833= 1,20 заявки в час, что в три раза больше, чем действительная пропускная способность А.

Задача 3. Имеется одноканальная СМО с отказами. Поток зая­вок — простейший с интенсивностью λ. Время обслуживания — не случайная величина и точно равно . Найти относитель­ную и абсолютную пропускную способность СМО в предельном стационарном режиме.

Решение. Рассмотрим на оси 0t простейший поток заявок с интенсивностью λ (рис. 6.5). Будем отмечать кружками все заяв­ки, которые приняты к обслуживанию. Пусть какая-то заявка, пришедшая в момент , принята к обслуживанию. Тогда все за­явки, пришедшие после нее за время , получат отказ; следую­щей будет принята к обслуживанию заявка, пришедшая в момент такой, что . Рассмотрим интервал Т между концом

обслуживания первой заявки и моментом прихода ближайшей следующей, которая будет принята к обслуживанию. Из-за от­сутствия последействия в простейшем потоке распределение интервала Т такое же, как и интервала между заявками, т. е. по­казательное с параметром λ. Средняя длина интервала Т равна m_t= 1/λ.

Итак, на оси 0t будут чередоваться неслучайные интервалы за­нятости канала длины и случайные свободные интерва­лы со средней длиной 1/λ. На первые попадает доля всех заявок, равная

а на вторые — доля, равная

Эта величина и есть относительная пропускная способность СМО:

Отметим, что формулы (6.18), (6.19) совпадают с формула­ми (6.16), соответствующими показательному распределению вре­мени обслуживания. Это естественно, так как формулы Эрланга остаются справедливыми при любом распределении времени об­служивания со средним значением, равным 1/µ.

Задача 4. В сельском поселке имеется группа дежурных электро­монтеров, которые дежурят по сменам. Такую СМО можно пред­ставить как одноканальную с неограниченной очередью. В СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ = 2 заявки/ч. Время обслуживания в СМО представляет собой показатель­ное распределение со средним значением = 20 мин. Необхо­димо найти финальные вероятности достояний СМО, среднее число заявок, связанных со СМО, — , среднее число заявок в очереди — , среднее время пребывания заявки в СМО — , среднее время пребывания заявки в очереди — .

Задача 5. Условия предыдущей задачи усложняются тем, что электромонтер обслуживает за один вызов не более трех заявок (включая обслуживаемую). Если заявка прибывает в момент, когда электромонтер уже получил 3 заявки, то она вынуждена ожидать своей очереди. Один час простоя электрооборудования приносит хозяйству ущерб в размере а рублей. Определить суточный ущерб, который понесет хозяйство при ожидании момента устранения неисправности.

Решение. Вычислим среднее число заявок , находящихся в ожидании:

По формуле Литта среднее время, проводимое одной заявкой в ожидании, . За сутки (24 ч) в группу дежур­ного обслуживания приходит в среднем заявок. Средний суточный ущерб составляет

Задача 6. На складе электротехнической службы хозяйства име­ется два электродвигателя одного типоразмера (n = 2); выйти из строя могут одновременно не более четырех (т = 4) электродвига­телей этого же типоразмера. Поток электродвигателей, выходя­щих из строя, — простейший с интенсивностью λ = 1 электродви­гатель в сутки. Время замены вышедшего из строя электродвигате­ля имеет показательное распределение со средним значением

. Найти финальные вероятности состояний резервного фонда и его характеристики:

А — среднее число заявок, обслуживаемое СМО в единицу вре­мени;

Q — А/λ — вероятность обслуживания поступившей заявки (от­носительная пропускная способность);

— вероятность отказа, т. е. вероятность того, что поступив­шая заявка не будет обслужена и получит отказ, ;

— среднее число занятых каналов;

— среднее число заявок в СМО (обслуживаемых или ожида­ющих в очереди);

— среднее число заявок в очереди;

– среднее время пребывания заявки в СМО (в очереди или под обслуживанием);

– среднее время пребывания заявки в очереди.

По известным формулам имеем:

Из полученных данных видно, что время пребывания заявки в СМО ( ) составляет около 7 ч, а среднее время пребывания за­явки в очереди ( ) — 1 ч. Если принять время пребывания заявки в СМО равным допустимому времени простоя оборудования, то можно определить оптимальное число электрооборудования, на­ходящегося в резерве.