3. Характеристики простейших смо

Одноканальные СМО имеются в любых службах сервиса. При медицинском обслуживании это врач, принимающий пациентов, при обслуживании пассажиров — билетная касса, при техничес­ком обслуживании энергетического оборудования — пост элект­рика и т. д.

Примем к рассмотрению одноканальную СМО без ограниче­ний на длину очереди и на длительность ожидания. Пусть на эту систему поступает поток заявок с интенсивностью λ = 1 /Т₃, т. е. заявки поступают в среднем через интервал времени Т₃. Система с интенсивностью обслуживания µ=1/ Т_в обслуживает их, т. е. на каждую заявку затрачивают период времени в среднем Т_в. Требу­ется найти характеристики (критерии) работы СМО в установив­шемся режиме: и L_оч — среднее число заявок в системе и в накопителе (очереди); П_сист и П_оч — средние продолжительности пребывания заявки в системе и в очереди; Р_зан — вероятность за­нятости канала (загрузка канала).

В данном случае ограничимся показательным законом распре­деления для Т₃ и Т_в, т. е. λ = const; µ = const. Пронумеруем воз­можные состояния СМО по числу заявок в ней:

s₀ — канал свободен;

— канал занят (одна заявка обслуживается, очереди нет);

s₂ — канал занят (одна заявка обслуживается, одна — в очере­ди);

……………………

— канал занят (одна заявка обслуживается, k-1 заявка стоит в очереди).

Размеченный граф состояний показан на рисунке 6.1. Система переходит из в и далее в правом направлении под действием потока заявок с интенсивностью λ = const.

Поток восстановления (обслуживания заявок) с интенсивнос­тью µ=const переводит систему назад—справа-налево.

Для определения финальных вероятностей, характеризующих относительную продолжительность пребывания системы в состоя­нии k, составим систему уравнений типа:

В данной задаче число состояний СМО , а сумма всех вероятностей = 1,0. Введем коэффициент нагрузки системы . Он характеризует среднее число заявок, поступаю­щих за период обслуживания одной заявки, и показывает, во сколько раз период обслуживания больше или меньше периода следования (в среднем) заявок. Обычно ρ < 1,0.

С учетом отмеченного, из системы (6.2) находим вероятности каждого состояния СМО

В установившемся режиме вероятности убывают по закону геометрической прогрессии. При любой нагрузке системы в диапазо­не вероятность больше остальных, т. е. относитель­ная продолжительность свободного состояния системы больше продолжительности любого другого состояния.

Среднее число заявок в системе находим суммированием произведений возможных заявок k на их вероятности : , где Р_к определяем по уравнению (6.3). Окончательно получаем

Из полного числа заявок по (6.4) занятая обслуживанием доля пропорциональна вероятности занятости . Поскольку для СМО всегда выполняется условие , находим:

Длину очереди определяем разностью между полным и обслу­живаемым числом заявок

Наконец по формулам Литтла находим средние продолжитель­ности пребывания в системе и в очереди

Единицы измерений этих характеристик — час, сутки, год, в зависимости от единиц интенсивности поступления заявок.

Аналитическое описание характеристики одноканальной СМО иллюстрирует рисунок 6.2 для случая λ = 0,5 ч^-1, µ = 1 ч^-1. Из гра­фиков и формул видно, что эффективность СМО зависит от коэф­фициента нагрузки системы массового обслуживания ρ, они суще­ственно нелинейны. С увеличением ρ лишь занятость растет ли­нейно. Другие характеристики СМО — длина очереди и продол­жительность пребывания в ней — бесконечно возрастают. Таким образом, главным параметром СМО служит коэффициент нагруз­ки системы массового обслуживания. Для успешного функциони­рования системы важно выбрать правильное значение ρ. По ха­рактеристикам СМО (L_cp, L_оч, П_сист, П_оч, и т. п.) это сделать труд­но. Поэтому приходится привлекать экономические показатели как для оценки очереди заявок, так и для оценки занятости кана­лов. Обычно эти связи дают конкурирующие эффекты и позволя­ют найти оптимальные параметры СМО.

Другим примером простейшей СМО служит многоканальная система с отказами. Такие системы возникли с началом развития телефонизации. Их исследование привело к созданию теории мас­сового обслуживания, в которой рассматриваемая СМО относится к классической задаче Эрланга.

Пусть имеется r каналов (ли­ний связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживания имеет ин­тенсивность µ. Необходимо най­ти характеристики системы: А — абсолютную пропускную способ­ность, равную среднему числу зая­вок, обслуживаемых в единицу времени; В — относительную про­пускную способность, т. е. сред­нюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой; — вероятность отказа в обслужива­нии (канал занят); — среднее число занятых каналов.

Графу состояний такой системы соответствует рисунок 6.1. Из состояний слева в состояние справа систему переводит поток зая­вок с интенсивностью λ, а из состояний справа-налево — поток обслуживании с интенсивностью kµ, где .

Состояние системы нумеруют по числу заявок, находящихся в системе. В данном случае оно совпадает с числом занятых кана­лов:

— канал свободен, в системе нет ни одной заявки;

— в системе находится одна заявка, т.е. один канал занят, ос­тальные каналы свободны;

……………………

— в системе находится к заявок, т. е. к каналов занято, ос­тальные каналы свободны;

s_r — в системе находится г заявок, т. е. все каналы заняты.

Если составить уравнения вероятностей для всех состояний, как в предыдущем примере, и решить полученную систему урав­нений, то найдем следующие значения финальных вероятностей для нулевого Р₀ и произвольного Р_к состояний

По ним определим искомые характеристики СМО. Относи­тельная пропускная способность — вероятность того, что заявка будет обслужена. Она будет численно равна разности между еди­ницей и вероятностью отказа , т. е. вероятностью того, что все каналы заняты:

Абсолютную пропускную способность получим, умножая ин­тенсивность потока заявок на вероятность их обслуживания:

Среднее число занятых каналов — это математическое ожида­ние дискретной величины 0, 1, 2, ..., r с вероятностями этих значе­ний

Параметры и критерии многоканальной СМО сложным обра­зом зависят от нагрузки системы и числа каналов. Для детального анализа следует изучать конкретные задачи.

Рассмотрим пример, который показывает, что СМО вносит су­щественные коррективы в традиционные представления об обслу­живании электрооборудования.

Пример. Предположим, в хозяйстве имеется два дежурных электромонтера. Каждый час им поступает в среднем одна заявка на двоих на оперативное обслу­живание электроустановок. Среднее время обслуживания заявки составляет один час. Итак, одна заявка поступает в течение 1 ч на двух электромонтеров. Интуи­тивно мы не предполагаем возможность отказа в обслуживании. Теперь проверим правильность этого предположения.

Дано: r = 2; λ = 1; µ = 1; ρ = 1. Определим характеристики СМО.

Решение. Финальные вероятности СМО найдем по (6.8):

Вероятность отказа определим по (6.9): .

Среднее число занятых электромонтеров рассчитаем по (6.11):

Из расчета видно, что не все поступающие заявки удовлетворяются. 20 % зая­вок остаются необслуженными, хотя в среднем занят лишь один электромонтер. Таким образом, первоначальное предположение оказалось ошибочным, что под­тверждает несостоятельность расчетов по средним величинам в ситуациях с нере­гулируемыми потоками событий.