4. Простейшие методы расчета надежности

При помощи теории надежности определяют общие законо­мерности изменения эксплуатационных свойств оборудования. Эти закономерности имеют важное значение для решения общих задач, связанных с выбором схем электроустановок, режимов их использования, стратегии обслуживания и т. п. Для решения ин­женерных задач необходимо иметь численные значения показате­лей надежности.

Основной закон надежности устанавливает связь между тремя показателями: вероятностью безотказной работы, средней нара­боткой на отказ и интенсивностью отказов. Если известны два из них, то третий легко определить из этого закона. Простейшие ме­тоды расчета надежности рассмотрим, решая задачи.

Задача 1. В технических условиях на асинхронные электродви­гатели серии 4А указана вероятность безотказной работы = 0,9 за 10 000 ч наработки. Необходимо определить интенсивность от­казов.

Примем экспоненциальное распределение отказов и запишем основной закон надежности . Отсюда после логарифми­рования найдем . Примем линейную форму закона, т. е. , и определим интенсивность отка­зов: . Сравним интенсивность отказов, полученную по основной форме закона надежности ( ) и линейной ( ). Как видим, погрешность расчета по упро­щенной формуле не превышает 5 %.

Задача 2. Оборудование безотказно проработало часов. Тре­буется определить вероятность безотказной работы до момента t₂. Представим на основе теоремы условной вероятности

где — условная вероятность; , а — безотказная работа на интервале времени от 0 до , b — безотказная работа на интервале времени от до .

Пусть ab — безотказная работа на интервале от 0 до .

Тогда искомая вероятность

Для экспоненциальной формы распределения отказов имеем:

.

Вероятность безотказной работы оборудования зависит лишь от интервала времени и не зависит от возраста оборудования. Отсюда следует важный вывод для эксплуатационного персо­нала: обеспечить высокую вероятность безотказной работы обору­дования можно за счет выбора высоконадежного изделия ( ; P(t) 1,0) или за счет ограничения периода использования ( ; P(t) 1,0).

Задача 3. В эксплуатацию принято N=100 электродвигателей с параметрами надежности, приведенными в задаче 1. Необходимо определить ожидаемое число отказавших двигателей (n) за 1 год эксплуатации при использовании оборудования в течение 1000 ч в год. По упрощенной формуле находим вероятность безотказной работы за t= 1000 ч:

.

Из определения вероятности безотказной работы запишем: P(t)=(N-n)/N. Отсюда n=N-P(t)N= 100 - 0,99•100 = 1.

4. Расчет структурной надежности систем

Системы, как отмечалось, представляют собой совокупности из множества элементов. Определение показателей надежности сис­темы — более сложная задача, чем определение надежности от­дельного элемента. Для ее решения разработаны методы, которые условно можно разделить на группы.

Первую группу составляют расчеты по основным теоремам ве­роятности на основе структурно-функциональных схем системы, вторую — методы теории марковских процессов, моделирующих динамику изменения состояний системы, третью — статистичес­кое моделирование случайного процесса перехода системы от со­стояния к состоянию (метод Монте-Карло).

Расчет структурной надежности. Под структурной надежностью системы понимают результирующую надежность при заданной структуре и известных значениях надежности всех вхо­дящих в нее элементов. При этом выделение элементов из систе­мы осуществляют на базе единства функционирования и физичес­ких процессов, происходящих при работе объекта. Все возможные связи между элементами в смысле надежности образуют последо­вательные, параллельные или смешанные соединения.

Расчет надежности при последовательном соединении элементов. Функциональные связи элементов системы, при которых отказ системы наступает при отказе хотя бы одного из элементов, назы­вают последовательным соединением. Например, электрическую машину практически всегда представляют в виде последователь­ного соединения узлов (элементов).

Пусть имеется последовательная цепь из п элементов, для каж­дого из которых известны вероятности безотказной работы (t) и интенсивности отказов . Считая первичные отказы элементов независимыми событиями, вероятность безотказной работы всей системы определяют по теореме умножения вероятностей:

При показательном законе распределения отказов вероятность безотказной работы .

Для закрепления материала определим вероятность безотказ­ной работы машины постоянного тока. Пусть в структурную схему входит коллекторно-щеточный узел ( = 0,92), подшипники ( =0,95), обмотка якоря ( =0,99), обмотка возбуждения ( 0,99); наработка каждого элемента t=5000 ч.

Выход из строя любого из названных элементов приводит к от­казу машины. Значит, структурная схема надежности представля­ет собой последовательную цепь из четырех элементов. По форму­ле (5.8) находим искомый ответ:

.

При последовательном соединении надежность системы всегда ниже надежности самого ненадежного элемента.

Расчет надежности при параллельном соединении элементов.

Функциональные связи элементов, при которых отказ системы наступает только при отказе всех элементов, называют параллель­ным соединением. Примерами таких систем служат двухтрансфор­маторная подстанция, двухцепная линия электропередачи и т.п.

Если система состоит из т параллельно соединенных элемен­тов с известными показателями надежности и независимыми отказами, то правило умножения вероятностей можно применить к вероятности отказа системы

Поскольку , из (5.9) находим вероятность безот­казной работы

При показательном законе распределения отказов и равнона­дежных элементов получим:

При параллельном соединении элементов вероятность безот­казной работы системы всегда выше надежности самого надежно­го элемента. С ростом числа параллельных ветвей вероятность бе­зотказной работы стремится к единице. Параллельное и последо­вательное соединения элементов в смысле надежности часто со­впадает с таким соединением в смысле электрической цепи. Од­нако это совпадение необязательно. Например, две параллельно работающие на одного потребителя различные линии электропе­редачи при пропускной способности каждой линии больше на­грузки потребителя могут рассматриваться соединенными в смысле надежности параллельно, а при пропускной способности каждой линии меньше нагрузки потребителя — последовательно. Другой пример: два последовательно включенных аппарата защи­ты от перегрузки образуют в смысле надежности параллельное со­единение, потому что по своему функциональному назначению — разрыв цепи — они дублируют друг друга. Параллельное соедине­ние называют резервированием.

Расчет надежности при параллельно-последовательном (смешан­ном) соединении. Многие системы имеют смешанное соединение, когда общее функционирование определяется последовательным и параллельным соединением элементов.

На рисунке 5.8 показана структурная схема, состоящая из т па­раллельных цепей, каждая из которых состоит из п последователь­но соединенных элементов. Такие схемы моделируют системы с общим резервированием.

Для расчета схемы надо в формуле (5.10) вероятность выра­зить через вероятность последовательной цепи (5.8):

Если считать, что вероятность безотказной работы всех элемен­тов одинакова, то результирующую надежность схемы определяют следующим выражением:

Анализ показывает, что вероятность безотказной работы системы с общим резервированием при большом числе последовательно со­единенных элементов в ветви умень­шается до нуля даже в случае увеличе­ния до бесконечности числа парал­лельных ветвей.

На рисунке 5.9 показана структурная схема, в которой последовательно со­единены п групп, состоящих из т парал­лельно включенных элементов. Такие схемы называют раздельным ре­зервированием.

В данном случае надежность отдель­ной группы определяют выражением (5.10), а для всей схемы

Для системы из равнонадежных эле­ментов это выражение принимает вид . Отсюда следует, что ве­роятность безотказной работы системы приближается к единице при безграничном увеличении числа резервирующих элементов в группах, даже если число последова­тельно соединенных групп стремится к бесконечности.

Для сравнения эффективности рассмотренных способов резер­вирования найдем вероятности отказов и .

Раскладывая эти вероятности в степенные ряды и учитывая, что , получим упрощенные формулы и , тогда .

Из полученного результата следует, что при общем резервиро­вании вероятность появления отказа всегда больше, чем при раз­дельном. Другими словами, при раздельном резервировании бе­зотказность тем больше, чем выше кратность резервирования, чем больше элементов в последовательной цепи.

Пример. Пускорегулирующая аппаратура представлена структурной схемой надежности (рис. 5.10). Вероятности безотказной работы каждого элемента указаны на рисунке 5.10. Определить вероятность безотказной работы всей схемы в целом.

Для решения выделим блоки элементов и определим для них вероятности безотказной работы:

блок смешанного соединения — А (по формуле (5.12)

блок параллельного соединения — С (по формуле 5.11)

блок В нерезервируемый и .

Вероятность безотказной работы цепочки пускорегулирующей аппаратуры

Вероятности безотказной работы всей системы (двух параллельных цепей)

.