5.3. Вероятностные характеристики показателей надежности

Показатели надежности могут принимать значения, неизвест­ные заранее, т. е. являются случайными величинами. Такие вели­чины изучают в теории вероятностей, где вероятность — это коли­чественная оценка возможности появления случайного события, или случайной величины.

Вероятностные характеристики случайной величины:

— интервал возможных значений;

— математическое ожидание (среднее значение);

— дисперсия — математическое ожидание квад­рата отклонения величины от среднего значения;

— среднее квадратическое отклонение;

— коэффициент вариации.

Простейшее описание случайной величины осуществляют ве­роятностными характеристиками, полное — законами (функция­ми) распределения, устанавливающими соответствие между конк­ретными значениями случайной величины и вероятностью ее по­явления. Различают интегральные и дифференциальные функции распределения. Интегральная функция (рис. 5.3) показывает, что для каждого числа х в диапазоне случайной величины X существу­ет определенная вероятность Р(Х<х), что X не превосходит х.

Дифференциальная функция (рис. 5.4) характеризует частоту повторения данных значений случайной величины. Она является производной от интегральной функции . Ее называ­ют плотностью распределения.

Функции распределения могут иметь самый разнообразный вид. Но в теории вероятностей обычно используют типовые (фун­кции) законы распределения: равномерный, нормальный, экспо­ненциальный, Пуассона, Вейбулла и т. п.

Закон равномерного распределения (рис. 5.5) описывает случай­ные величины, у которых частота появления не зависит от значе­ния величины в интервале x_min...x_max. Например, по такому закону распределены вероятности выпадения числа от 1 до 6 при броса­нии шестигранного кубика.

Закон нормального распределения (рис. 5.6) получил наибольшее распространение, т. к. он достаточно полно описывает случайные величины массовых явлений. Значения этих величин обычно рав­номерно распределены вокруг среднего значения.

Закон экспоненциального распределения (рис. 5.7) описывает слу­чайные величины, у которых вероятность появления меньших значений всегда выше, чем больших.

В теории надежности чаще всего используют экспоненциаль­ный закон. Вероятность безотказной работы тождественно равна

вероятности появления случайной величи­ны со значением , т. е. .

Интенсивность отказов по определению аналогична плотности распределения слу­чайной величины . Средняя наработка на отказ .

Основной закон надежности. Теория ве­роятностей устанавливает аналитическую связь между основными параметрами на­дежности: вероятностью безотказной рабо­ты, средней наработкой на отказ и интен­сивностью отказов. Математическое описа­ние этой зависимости называют основным законом надежности.

Из выражений для интенсивности отка­зов и плотности распределе­ния случайной величины = dP(t)/dt по­лучают дифференциальное уравнение для произвольной функции распределения:

.

Решая уравнение (5.3), получают вероятность безотказной ра­боты

Формула (5.4) представляет собой основной закон надежности. Из нее следует, что вероятность безотказной работы любого изде­лия с течением времени убывает со скоростью, зависящей от ин­тенсивности отказов.

При t= 0 P(t) = 1; при t P(t) = 0.

При экспоненциальном распределении основной закон надежнос­ти характеризуют постоянным значением интенсивности отказов λ(t) = const. При этом средняя наработка на отказ

С учетом этик зависимостей по формуле (5.4) получают:

Снижение вероятности безотказной работы изделия однознач­но определяют средней наработкой на отказ. Например, через пе­риод t= Т₀ вероятность безотказной работы снижается до = 0,37, т. е. за период t=T₀ окажутся исправными 37 % изде­лий, неисправными — 63 %.

Основной закон надежности в линейной форме. В отдельных экс­плуатационных ситуациях, когда мала интенсивность отказа изде­лий или мал исследуемый промежуток времени, можно использо­вать не экспоненциальную, а линейную форму основного закона надежности. Для вывода такой зависимости разложим (5.6) в ряд:

Пренебрегая членами высшего порядка малости, получим ли­нейную форму:

Анализ показал, что для изделий, имеющих <0,2, погреш­ность расчета по упрощенной формуле не превышает 5 % по срав­нению с экспоненциальной формулой (5.4).

Рассмотрим пример, поясняющий сказанное. Изделие имеет

λ = 0,001 ч^-1. Определим вероятность безотказной работы по урав­нению (5.6) за 300 и 500 ч эксплуатации.

При t - 300 ч

При t = 500 ч