Перетворимо формулу Ейлера (2), підставляючи в неї замість реальної довжини стержня зведену довжину . Одержуємо формулу Ейлера для критичної сили в остаточному вигляді:

. (3)

На рис.3 наведені значення критичної сили для стержнів з різними умовами закріплення кінців при однакових початковій довжині і жорсткості поперечного перерізу. Слід зазначити, що найбільшого значення критична сила досягає для стержня з жорстким закріпленням кінців (Рис.3,г). В цьому випадку критична сила виявляється в чотири рази більшою, ніж для основного випадку закріплення кінців. Найменш ефективним типом закріплення кінців стержня є випадок, наведений на рис.3,а. Критична сила в цьому випадку виявляється в чотири рази меншою, ніж для основного випадку.

3.Межі застосовності формули Ейлера. Формула Ясинського

Формула Ейлера, яка була отримана 250 років тому назад, довгий час була предметом дискусій. Суперечки тривали близько 100 років. Однією з головних причин суперечок виявилося те, що формула Ейлера для деяких випадків не підтверджувалася експериментально. Пояснюється це тим, що Ейлер виводив свою формулу в межах закону Гука, припускаючи, що при будь-якому значенні сили стиснутий стержень працює в межах пружних деформацій. Вперше ця обставина в 1845 році була роз'яснена Ламарлем (формула Ейлера була отримана в 1744 році). Таким чином сто років практикам не було ясно, чому формула Ейлера дає часто не придатні для практики результати, і тому нею уникали користуватися, віддаючи перевагу різним емпіричним або напівемпіричним формулам.

Знайдемо критичні напруження. Зважаючи на те, що при силах, менших або рівних критичній, єдиною стійкою формою рівноваги є прямолінійна, критичні напруження можуть бути обчислені за формулою:

. (4)

З формули (4) стає ясно, що якщо прямолінійна форма стержня залишиться стійкою і при напруженнях, що перевищують границю пропорційності, то наближене диференціальне рівняння пружної лінії стержня, що припускає справедливість закону Гука, вже не буде придатне для опису згинання при втраті стійкості.

Виразимо критичні напруження в стержні, підставивши значення критичної сили (3):

, (5)

де  найменший з головних радіусів інерції поперечного перерізу стержня;  площа брутто поперечного перерізу стержня.

Введемо безрозмірну величину

, (6)

звану гнучкістю стержня.

Перепишемо вираз для критичного напруження (5) у вигляді:

. (7)

Ця формула є також формулою Ейлера, але у видозміненому вигляді. Відповідно до цієї формули критичні напруження стиснутого стержня залежать від пружних характеристик матеріалу (модуля пружності ) і від гнучкості стержня .

Гранична величина критичних напружень, які можна визначити за формулою Ейлера (7), обмежена зверху границею пропорційності для матеріалу стержня. Прирівнюючи величину критичного напруження величині границі пропорційності, з рівняння (7) знайдемо граничну гнучкість, при якій може бути застосовна формула Ейлера:

. (8)

Якщо , формулу Ейлера застосовувати можна, якщо  формулу Ейлера застосовувати не можна. Стержні, у яких гнучкість більша за граничну ( ) називають стержнями великої гнучкості. Для маловуглецевої сталі, у якої МПа і модуль пружності МПа, гранична гнучкість дорівнює:

.

Те саме можна одержати і графічно. В системі координат побудуємо графік залежності критичних напружень від гнучкості стержня (Рис.4). Графічно ця залежність є гіперболою і називається гіперболою Ейлера. Графік, побудований для сталі Ст.3, показує, що при зростанні гнучкості стержня критичні напруження прагнуть до нуля, і навпаки, при наближенні гнучкості до нуля критичні напруження прагнуть до нескінченності.

Відкладемо на осі ординат ( ) величину границі пропорційності і проведемо з отриманої точки D пряму лінію, паралельну осі абсцис. Ця пряма перетнеться з гіперболою Ейлера в точці А, абсциса якої і є . Зліва від точки А гіпербола Ейлера показана штриховою лінією, оскільки на цьому відрізку вона дає значення критичних напружень, більших за границю пропорційності, що не відповідає умовам її застосування. Якщо ж застосовувати формулу Ейлера за границею пропорційності (при ), ця формула дає завищені значення критичної сили. В результаті відбувається переоцінка дійсної стійкості стержня. Тому використовування формули Ейлера для стержнів, які втрачають стійкість за границею пружності, не тільки принципово неправильно, але і вкрай небезпечно за своїми наслідками.

Рис.4

Для випадку, коли стержень працює за границею пружності, теоретичні висновки значно ускладнюються. У зв'язку з цим зазвичай користуються емпіричними формулами, отриманими в результаті обробки значної кількості дослідних даних. Однією з таких формул є формула Ф.С.Ясинського:

. (9)

Значення коефіцієнтів і для деяких матеріалів наведені в таблиці 1.

Таблиця 1

Матеріал		(МПа)	(МПа)
Ст.2, Ст.3	100	310	1,14
Ст.5	100	464	3,26
Сталь 40	90	321	1,16
Кремениста сталь	100	589	3,82
Деревина (сосна)	110	29,3	0,194
Чавун	80	776	12

Експериментальні значення критичних напружень на рис.4 на ділянці АВ умовно показані точками. Ф.С.Ясинський, отримавши дані експерименту, апроксимував ці дані прямою лінією АВ (на графіку), рівняння якої записав у вигляді (9). Гнучкість стержня, що відповідає точці В на графіку, дорівнює приблизно 4050. Назвемо стержні, гнучкість яких коливається від 40 до , стержнями середньої гнучкості.

При деякому значенні гнучкості величина критичних напружень , обчислена за формулою Ясинського (9), дорівнює границі текучості при стисканні для пластичних матеріалів або границі міцності при стисканні для крихких матеріалів . Стержні, у яких , називаються стержнями малої гнучкості. На рис.4 стержням малої гнучкості відповідає пряма ВС.

Таким чином, на графіку (Рис.4), який встановлює залежність критичних напружень від гнучкості стержня, можна виділити три групи стержнів і відповідні їм зони: I група стержнів ( ) – стержні великої гнучкості – критичні напруження для стержнів цієї групи визначаються за формулою Ейлера (7); II група стержнів ( ) – стержні середньої гнучкості – критичні напруження для цієї групи стержнів визначається за формулою Ясинського (9); III – стержні малої гнучкості ( ). Для цих стержнів критичні напруження не визначаються. Такі стержні стійкості не втрачають, і їх розрахунок виконується тільки на міцність.